- Millerscher Index
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Auswahl millerscher Indizes in einem Würfel (Koordinatenurspung an der Ecke vorn links unten; x- nach rechts, z- nach oben, y-Achse in die Bildebene)
Millersche Indizes dienen in der Kristallographie der eindeutigen Bezeichnung von Ebenen und Richtungen (bzw. Vektoren) in Kristallsystemen, somit der Kristallorientierung. Die Schreibweise wurde im Jahr 1839 von William Hallowes Miller (1801–1880) vorgeschlagen.
Beispiele für ihren Einsatz sind:
- in der Kristallmorphologie werden sie verwendet, um die Kristallflächen eindeutig zu beschreiben.
- bei Beugungsmethoden, wie der Röntgenbeugung oder der Elektronenbeugung, bezeichnen sie eine Netzebenen-Schar. Hier werden auch höhere Indizes – beispielsweise (222) – eingesetzt, um die Beugung höherer Ordnung anzugeben. Daher wird zur Abgrenzung auch der Begriff Bragg-Indizes benutzt (s. a. Bragg-Gleichung).
- in der Materialwissenschaft werden sowohl Gitterebenen als auch Gittervektoren benötigt, um verschiedene Gitterfehler zu charakterisieren.
Inhaltsverzeichnis
Notation
Gitterebene
Drei ganzzahlige Indizes
,
und
bilden das Zahlentriplett
, dies sind die millerschen Indizes. Negative Indizes werden mit einem über die Zahl geschriebenen Balken gekennzeichnet, also beispielsweise
. Dieses Triplett bezeichnet eine spezifische Ebene.
Sind anstatt einer spezifischen Netzebene auch kristallographisch äquivalente Ebenen gemeint, so wird die Notation
verwendet. Beispielsweise bezeichnet man mit
in einem kubischen Gitter die aufgrund der kubischen Symmetrie äquivalenten Ebenen
,
,
,
,
und
, was den sechs Oberflächen eines Würfels entspricht.
Da eine Netzebenen-Schar auch immer einen Punkt im Reziproken Gitter des Kristalls darstellt, kann mit dem Triplett
auch ein Vektor im reziproken Raum bezeichnet werden.
Gittervektoren
Auch Vektoren innerhalb des Gitters können durch die millerschen Indizes bezeichnet werden. Dabei wird die Notation
verwendet, um einen spezifischen Vektor zu bezeichnen. Die Notation
bezeichnet alle zum Vektor
kristallographisch äquivalenten Richtungen.
Definition
Abhängig von seinem Kristallsystem wird jedem Kristall ein Koordinatensystem zugeordnet. Die drei Vektoren
,
und
mögen die Basis dieses Gitterkoordinatensystems bilden. Die Basis des zugehörigen Reziproken Gitters sei durch die Vektoren
,
und
gegeben.
- Gitterebene
Es ergeben sich zwei äquivalente Möglichkeiten eine Gitterebene zu definieren.
Zum Einen bezeichnet der Index
die Ebene, die durch die drei Punkte
,
und
geht. Also schneiden die Basisvektoren des jeweiligen Kristallsystems die Ebenen gerade an den Kehrwerten der einzelnen Indizes. Ein Index von Null bezeichnet dabei einen Schnittpunkt im Unendlichen, d.h. der zugehörige Basisvektor ist parallel zur Ebene.
Die andere Möglichkeit ist, mit
den reziproken Gittervektor
zu bezeichnen. Dieser Vektor steht senkrecht auf den entsprechenden Gitterebenen.
Dabei werden diejenigen ganzen Zahlen
,
und
verwendet, die keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Dies entspricht dem kürzesten reziproken Gittervektor, der senkrecht auf der Ebene steht.
- Gittervektor
Entsprechend beschreibt die Notation
einen Vektor im realen Gitter
Dieser Vektor steht im Allgemeinen nicht senkrecht auf der Ebene
. Dies ist nur im kubischen Gitter der Fall.
Vierer-Schreibweise
Im trigonalen Kristallsystem und im hexagonalen Kristallsystem wird häufig die Schreibweise
bevorzugt. Die Ebenen-Indizes der Vierer-Schreibweise ergeben sich aus der herkömmlichen Dreier-Schreibweise
als:
Auch für die Richtungs-Indizes, gibt es eine Vierer-Schreibweise:
. Die Umrechnung aus der Dreier-Schreibweise
ist unterschiedlich zur Umrechnung der Ebenen-Indizes:
Der Vorteil der Vierer-Schreibweise liegt darin, dass der Vektor
, ähnlich wie in kubischen Kristallsystemen, senkrecht auf der Ebene
steht. In der Dreier-Schreibweise ist dies in diesen Kristallsystemen im Allgemeinen nicht der Fall.
Literatur
- Werner Schatt, H. Worch: Werkstoffwissenschaft. 8. Aufl., Dt. Verl. für Grundstoffindustrie, Stuttgart 1996. ISBN 3-342-00675-7
- Charles Kittel: Introduction to solid state physics. 7. Aufl., New York, Wiley 1996. ISBN 0-471-11181-3
Weblinks
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