Mittlere Krümmung

In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum $\mathbb{R}^3$, einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die mittlere Krümmung neben der gaußschen Krümmung ein wichtiger Krümmungsbegriff.

Definition

Gegeben seien eine reguläre Fläche im $\mathbb{R}^3$ und ein Punkt dieser Fläche. Die mittlere Krümmung H der Fläche in diesem Punkt ist das arithmetische Mittel der beiden Hauptkrümmungen k₁ und k₂. Das heißt die mittlere Krümmung ist definiert als

$H := \frac{1}{2} (k_1 + k_2).$

Von besonderem Interesse sind sogenannte Minimalflächen, für welche H = 0 bzw. k₁ = − k₂ gilt. Allgemeiner kann man die mittelere Krümmung für n-dimensionale Hyperflächen des $\R^{n+1}$ durch $H := \tfrac{1}{n} \operatorname{Spur}(S)$ definieren. Dabei ist S die Weingarten-Abbildung und $\operatorname{Spur}$ bezeichnet die Spur einer Matrix.

Beispiele

• Im Falle einer Kugel(oberfläche) mit Radius r ist die mittlere Krümmung gegeben durch H = 1 / r.

• In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders mit Radius r ist die mittlere Krümmung gleich H = 1 / (2r).

• Sei X = X(u,v) = (u,v,f(u,v)) ein Graph über der u − v Ebene. Dann berechnet sich die mittlere Krümmung durch die Formel:

$H = \frac{(1+f_v^2)f_{uu} - 2f_uf_vf_{uv} + (1+f_u^2)f_{vv}}{2\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}^{3}}$.

Diese Gleichung nennt man auch nicht-parametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Krümmung.

Eigenschaften

• Sind E, F, G bzw. L, M, N die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform, so gilt die Formel
  $H = \frac{LG - 2MF + NE}{2(EG - F^2)}$

• Wenn die erste Fundamentalform isotherm parametrisiert ist, das heißt es gilt 0 < E = G und F = 0, dann schreibt sich
  $H = \frac{L+N}{2E}.$

• Für eine Fläche X = X(u,v) gilt die Gleichung
  $H\vec{n} = g^{ij}\nabla_i\nabla_j X,$
  mit der Einheitsnormale $\vec{n}$, g_ij als erster Fundamentalform und $\nabla_i$ der kovarianten Ableitung.

• Wenn eine Fläche X = X(u,v) isotherm parametrisiert ist, so genügt sie dem Rellichschen H-Flächensystem
  $\Delta X = 2H X_u\times X_v.$

• Ist die Fläche als Niveaufläche einer Immersion F gegeben, so gilt
  $2 H = \operatorname{div} \vec{n} = \operatorname{div} \frac{\nabla F}{|\nabla F|}.$
  Dabei ist $\operatorname{div}$ die Divergenz und $\vec{n}$ das Einheitsnormalenfeld $\tfrac{\nabla F}{|\nabla F|}.$ Diese Formel heißt Formel von Bonnet und gilt allgemein für n-dimensionale Hyperflächen.

Literatur

• Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. 4 Auflage. Vieweg, 2007, ISBN 978-3-8348-0411-2.