Multipolentwicklung

Als Multipolentwicklung versteht man die Reihenentwicklung eines Potentials, bei der verschiedene Multipol-Momente auftreten. Man unterscheidet zwischen kartesischer und sphärischer Multipolentwicklung. Multipolentwicklungen spielen insbesondere in der Elektrostatik und der Magnetostatik eine große Rolle, können aber auch auf andere Felder angewendet werden.

Elektrostatik - kartesische Multipolmomente

Das Elektrostatische Potential lässt sich mit der Ladungsverteilung $\rho(\vec{r})$ an jedem Ort $\vec{r}$ über die Formel

$\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int d^3r'\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}$

beschreiben, für n einzelne Punktladungen auch durch eine Summe aus den Beiträgen der einzelnen Punktladungen:

$\Phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left( \sum_i \frac{q_i}{\left|\vec{r} - \vec{r}_i\right|}\right)$

Anstatt das Potential durch n einzelne Ladungen q_i und Koordinaten $\vec{r}$ zu beschreiben kann man die Multipolentwicklung durchführen:

$\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left( \frac{Q}{r} + \frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}}{r^3} + \frac{1}{2}\sum_{k,l}Q_{kl}\frac{r_k\cdot r_l}{r^5}+...\right)$

Aus mathematischer Sicht ist diese eine Taylorentwicklung des Faktors $1/|{\mathbf r - \mathbf r'}|$ um $\mathbf r'=\mathbf 0$ nach kartesischen Koordinaten (x,y,z). Ihre Entwicklungskoeffizienten, die Multipolmomente Q, p, Q_kl, lassen sich auch physikalisch deuten.

• Monopolmoment $Q=\sum_{i=1}^{n} q_i$

Das Monopolmoment entspricht der Gesamtladung der Ladungsverteilung. Das Potential des Monopolmoments $\Phi_\text{Monopol} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$ fällt am schwächsten ab und ist für große Abstände $\vec{r}\gg\vec{r}_i$ dominierend.

• Dipolmoment $\mathbf{p}=\sum_{i=1}^{n} q_i \mathbf r_i$

Ein Dipolmoment tritt auf wenn Ladungsschwerpunkte nicht mit dem Koordinatenursprung zusammenfallen. Das Dipolpotential $\Phi_\text{Dipol} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{r^3}$ ist schwächer als das Monopolpotential, da es mit dem Abstand quadratisch abfällt.

Eindrückliches Beispiel für ein Dipolmoment sind zwei getrennte Ladungen mit +q und -q.

• Quadrupolmoment $Q_{kl} = \sum_{i=1}^{n} q_i(3r_{ik} r_{il} - (r_i)^2\delta_{kl})$ (wobei $r_{ik} = \vec{r}(i) \cdot \vec{e}_{k}$)
• und höhere Multipolmomente

Für kontinuierliche Ladungsverteilungen lassen sich die Multipolmomente etwas allgemeiner folgendermaßen formulieren:

• Monopolmoment $Q=\int d^3r' \rho(\mathbf{r}')$ - ein Skalar: entspricht der Gesamtladung
• Dipolmoment $\mathbf{p}=\int d^3r' \mathbf{r}'\rho(\mathbf{r}')$ - ein Vektor
• Quadrupolmoment $Q_{kl} = \int d^3r' \rho(\mathbf{r}')(3r'_k r'_l - (r')^2\delta_{kl})$ - ein spurfreier symmetrischer Tensor zweiter Stufe (Matrix)

Magnetostatik

Das Vektorpotential

$\mathbf {A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{{4\pi}}\int d^3r'\frac{\mathbf j(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}$

hat kein Monopolmoment.

Kartesische Multipolentwicklung

Bei der kartesischen Multipolentwicklung wird $1/|{\mathbf r - \mathbf r'}|$ in eine Taylorreihe von $\mathbf r'$ um $\mathbf r'=\mathbf 0$ entwickelt. Die Multipolentwicklung trennt bei den einzelnen Summanden der Entwicklung den Ort $\mathbf r$ und die von der Ladungsverteilung $\rho(\mathbf{r}')$ abhängigen Größen (Momente) voneinander.

$\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}=\sum\limits _{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\mathbf{r}'\cdot\nabla_{\bar{\mathbf{r}}}\right)^{n}\left.\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\bar{\mathbf{r}}\right|}\right|_{\bar{\mathbf{r}}=0}$

Dabei bedeutet $\nabla_{\bar{\mathbf{r}}}$, dass der Nablaoperator nur auf $\bar{\mathbf{r}}$ und nicht auf $\mathbf{r}$ wirkt. Nach Bilden der Ableitung $\nabla_{\bar{\mathbf{r}}}^{n}(1/\left|\mathbf{r}-\bar{\mathbf{r}}\right|)$ werden diese an der Stelle $\bar{\mathbf{r}}=0$ ausgewertet. Die Taylorentwicklung lässt sich umformen mittels Substitution $\mathbf{u}=\mathbf{r}-\bar{\mathbf{r}}$ und damit $\nabla_{\mathbf{u}}=-\nabla_{\bar{\mathbf{r}}}$:

$\nabla_{\bar{\mathbf{r}}}^{n}\left.\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\bar{\mathbf{r}}\right|}\right|_{\bar{\mathbf{r}}=0}=(-\nabla_{\mathbf{u}})^{n}\left.\frac{1}{\left|\mathbf{u}\right|}\right|_{\mathbf{u}=\mathbf{r}}=(-\nabla_{\mathbf{r}})^{n}\frac{1}{\left|\mathbf{r}\right|}=(-\nabla)^{n}\frac{1}{r}$

Somit vereinfacht sich die Entwicklung zu:

$\begin{align} \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|} & =\sum\limits _{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(-\mathbf{r}'\cdot\nabla\right)^{n}\frac{1}{r}\\ & =\frac{1}{r}-\mathbf{r}'\cdot\nabla\frac{1}{r}+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\cdot\nabla\nabla\frac{1}{r}\cdot\mathbf{r}'+O(r'^{3})\end{align}$

In Komponentenschreibweise lauten die ersten Glieder der Entwicklung (es wird Summenkonvention verwendet):

$\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}=\frac{1}{\sqrt{(x_{k}-x_{k}^{\prime})(x_{k}-x_{k}^{\prime})}}=\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}}-x_{i}^{\prime}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}}+\frac{1}{2}x_{i}^{\prime}x_{j}^{\prime}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}}+O(x_{i}^{\prime3})$

Bei der zugrundeliegenden Taylorentwicklung muss beim Summanden n-ter Ordnung ein Tensor n-ter Stufe, nämlich $\nabla^n (1/r)$, berechnet werden. Hierbei ist in erster Ordnung

$\frac{\partial}{\partial x_{i}}\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}}=-\frac{1}{2}\frac{2x_{i}}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{3}}=-\frac{x_{i}}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{3}}=-\frac{x_{i}}{r^{3}}$

$\nabla \frac{1}{r} = - \frac{{\mathbf r}}{{r^3 }}$

und in zweiter Ordnung

$\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}}=-\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{3}}x_{j})=-(-\frac{3}{2})\frac{2x_{i}}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{5}}x_{j}-\frac{\delta_{ij}}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{3}}=\frac{3x_{i}x_{j}-x_{l}x_{l}\delta_{ij}}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{5}}=\frac{3x_{i}x_{j}-x_{l}x_{l}\delta_{ij}}{r^{5}}$

$\nabla \nabla \frac{1}{r} = - \nabla \frac{{\mathbf r}}{{r^3 }} = - \left( \mathbf r{\nabla \frac{1}{{r^3 }}} + \frac{1}{{r^3 }}\nabla \mathbf r \right) = - \left( {-3 \frac{\mathbf r}{{r^5 }}} \right)\mathbf r - \frac{1}{{r^3 }}E = 3\frac{{\mathbf r\mathbf r}}{{r^5 }} - \frac{{r^2 }}{{r^5 }}E$,

wobei E die Einheitsmatrix und $\mathbf r\mathbf r$ ein dyadisches Produkt ist.

Damit lassen sich die ersten drei Glieder der Entwicklung schreiben als

$\frac{1}{r}+x_{i}^{\prime}\frac{x_{i}}{r^{3}}+\frac{1}{2}x_{i}^{\prime}x_{j}^{\prime}\frac{3x_{i}x_{j}-x_{l}x_{l}\delta_{ij}}{r^{5}}=\frac{1}{r}+\frac{x_{i}}{r^{3}}x_{i}^{\prime}+\frac{1}{2}\frac{x_{i}x_{j}}{r^{5}}(3x_{i}^{\prime}x_{j}^{\prime}-x_{l}^{\prime}x_{l}^{\prime}\delta_{ij})$

$\frac{1}{r} + \frac{{\mathbf r}}{{r^3 }} \cdot \mathbf r' + \frac{1}{2} \mathbf r' \cdot \left( {3\frac{{\mathbf r\mathbf r}}{{r^5 }} - \frac{{r^2 }}{{r^5 }}E} \right) \cdot \mathbf r' = \frac{1}{r} + \frac{{\mathbf r}}{{r^3 }} \cdot \mathbf r' + \frac{1}{2} \frac{{\mathbf r\mathbf r}}{{r^5 }}:\left( {3\mathbf r'\mathbf r' - r'^2 E} \right)$,

wobei : ein doppeltes inneres Produkt bezeichnet. Zudem wurde $x_{i}^{\prime}x_{j}^{\prime}x_{l}x_{l}\delta_{ij}=x_{i}^{\prime}x_{i}^{\prime}x_{l}x_{l}=x_{l}^{\prime}x_{l}^{\prime}x_{i}x_{i}=x_{l}^{\prime}x_{l}^{\prime}x_{i}x_{j}\delta_{ij}=r^{\prime2}x_{i}x_{j}\delta_{ij}$ verwendet.

Einsetzen liefert das Potential (hier das elektrische Potential), wo die Momente direkt abgelesen werden können.

$\begin{align} \Phi\left(\mathbf{r}\right) & =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\bigg[\frac{1}{r}\underbrace{\int\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}_{{\rm \text{Monopol-}}}+\frac{x_{i}}{r^{3}}\underbrace{\int x_{i}'\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}_{\text{Dipol-}}+\frac{1}{2}\frac{x_{i}x_{j}}{r^{5}}\underbrace{\int\left(3x_{i}'x_{j}'-r'^{2}\delta_{ij}\right)\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}_{\text{Quadrupolmoment}}+...\bigg]\\ & =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\bigg[\frac{1}{r}\overbrace{\int\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}+\frac{\mathbf{r}}{r^{3}}\cdot\overbrace{\int\mathbf{r}'\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}+\frac{1}{2}\frac{\mathbf{r}\mathbf{r}}{r^{5}}:\overbrace{\int\left(3\mathbf{r}'\mathbf{r}'-r'^{2}E\right)\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}+...\bigg]\end{align}$

Sphärische Multipolentwicklung

Das elektrostatische Potential lautet

$\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int d^3r'\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}$.

Der Abstand lässt sich mittels Skalarprodukt im Nenner umformen zu:

$\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\frac{1}{\sqrt{\mathbf{r}^{2}+\mathbf{r}^{\prime2}-2\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}^{\prime}}}=\frac{1}{\sqrt{r^{2}+{r^{\prime}}^{2}-2r\, r^{\prime}\cos\alpha}}=\frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{r^{\prime}}{r}\right)^{2}-2\frac{r^{\prime}}{r}\cos\alpha}}=\frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+x^2-2y\,x}}$

Es wurden die Abkürzungen $x=\frac{r^\prime}{r}$ und y = cos α eingeführt. Nun entwickelt man obige Gleichung in eine Taylorreihe um x = 0:

$\frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+x^2-2y\,x}}=\frac{1}{r}\bigg[\underbrace{1}_{P_0(y)}+\underbrace{y}_{P_1(y)}\,x +\underbrace{\left(\frac{3}{2}y^2-\frac{1}{2}\right)}_{P_2(y)}x^2+\underbrace{\left(\frac{5}{2}y^3-\frac{3}{2}y\right)}_{P_3(y)}x^3+\ldots \bigg]=\frac{1}{r}\sum_{l=0}^\infty P_l(y)x^l$

Dabei wurden die Legendre-Polynome P_l(y) = P_l(cos α) benutzt. Diese sind für | x | < 1 definiert als die Entwicklungskoeffizienten der Taylorreihe von (1 + x² − 2yx) ^{− 1 / 2} um x = 0:

$\frac{1}{\sqrt{1+x^2-2y\,x}}=\sum_{l=0}^\infty P_l(y)x^l$

Die Entwicklung lautet also:

$\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}\,'|}=\sum_{l=0}^\infty P_l(\cos\alpha)\frac{r^{\,\prime\,l}}{r^{l+1}}$

Da α der Winkel zwischen $\mathbf r=\mathbf r(r,\theta,\varphi)$ und $\mathbf r^\prime=\mathbf r^\prime(r^\prime,\theta^\prime,\varphi^\prime)$ ist, kann man nun das Additionstheorem der Kugelflächenfunktionen benutzen, welches durch

$P_l(\cos\alpha)=\frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^l Y_{lm}^*(\theta^\prime,\varphi^\prime)Y_{lm}(\theta,\varphi)$

gegeben ist. Eingesetzt ergibt sich für das elektrostatische Potential

$\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}Y_{lm}(\theta,\varphi)\frac{1}{r^{l+1}} \int d^3r^\prime\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}\rho(\mathbf r^\prime){r^\prime}^l Y_{lm}^*(\theta^\prime,\varphi^\prime)$.

Nun wird das sphärische Multipolmoment q_lm definiert als

$q_{lm}=\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}^{l}\, Y_{lm}^{*}(\theta^{\prime},\varphi^{\prime})=\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}\,\int_{0}^{\infty}dr'\int_{0}^{\pi}d\theta'\int_{0}^{2\pi}d\varphi'\,\rho(r',\theta',\varphi')\,\sin(\theta')\,{r^{\prime}}^{l+2}\, Y_{lm}^{*}(\theta^{\prime},\varphi^{\prime})$.

Damit ergibt sich für das elektrostatische Potential die sphärische Multipolentwicklung

$\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}Y_{lm}(\theta,\varphi)\frac{q_{lm}}{r^{l+1}}$.

Elektrostatik - sphärische Multipolmomente

Für die nullte und erste Ordnung der sphärischen Multipolmomente der Elektrostatik werden explizit angegeben:

$q_{0,0}=\sqrt{\frac{4\pi}{1}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,\sqrt{\frac{1}{4\pi}}=\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})$

$q_{1,1}=\sqrt{\frac{4\pi}{3}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\left(-\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\right)\sin{\theta'}\, e^{-i\varphi'}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\sin{\theta'}\, e^{-i\varphi'}$

$q_{1,0}=\sqrt{\frac{4\pi}{3}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos{\theta'}=\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\cos{\theta'}$

$q_{1,-1}=\sqrt{\frac{4\pi}{3}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin{\theta'}\, e^{i\varphi'}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\sin{\theta'}\, e^{i\varphi'}$

Umrechnung von sphärischen und kartesischen Momenten

Man sieht leicht, dass für das kartesische Monopolmoment gilt:

Q = q_0,0

Für das kartesische Dipolmoment $\mathbf p$ gilt dann jedoch

p_z = q_1,0

$p_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-q_{1,+1}+q_{1,-1}\right)$

$p_y=\frac{1}{\sqrt{2}i}\left(q_{1,+1}+q_{1,-1}\right)$

Literatur

• T. Fließbach: Elektrodynamik. Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-82742021-0.
• J. D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter Verlag, ISBN 3-11018970-4.