Pfaffsche Determinante

In der Mathematik kann die Determinante einer schiefsymmetrischen Matrix immer als das Quadrat eines Polynoms der Matrixeinträge geschrieben werden. Dieses Polynom wird die pfaffsche Determinante der Matrix genannt. Die pfaffsche Determinante ist nur für schiefsymmetrische $2n \times 2n$-Matrizen nichtverschwindend. In diesem Fall ist sie ein Polynom des Grades n.

Beispiele

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}=a.$

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.$

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ -\lambda_n & 0\end{matrix} \end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.$

Formale Definition

Sei Π die Menge aller Partitionen von ${1, 2, \ldots, 2n}$ in Paare. Es gibt (2n − 1)!! solcher Partitionen. Ein Element $\alpha \in \Pi$ kann als

$\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}$

geschrieben werden mit i_k < j_k und $i_1 < i_2 < \ldots < i_n$. Sei

$\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}$

eine korrespondierende Permutation und sei sgn(α) die Signatur von π. Diese hängt nur von der Partition α ab und nicht von der Wahl einer Permutation π.

Sei A = {a_ij} eine schiefsymmetrische 2n×2n-Matrix. Mit einer gegebenen, wie oben definierten Permutation α erhält man

$A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.$

Wir können die pfaffsche Determinante A definieren als

$\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.$

Die pfaffsche Determinante einer schiefsymmetrischen n×n-Matrix ist für ungerades n als Null definiert.

Alternative Definition

Man kann zu jeder schiefsymmetrischen $(2n \times 2n)$-Matrix A ={a_ij} einen Bivektor assoziieren:

$\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.$

wobei {e₁, e₂, …, e_2n} die Standardbasis für R²ⁿ ist. Die pfaffsche Determinante ist definiert durch

$\frac{1}{n!}\omega^n = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_{2n},$

hierbei bezeichnet ωⁿ das Keilprodukt von n Kopien von ω mit sich selbst.

Eigenschaften

Für eine schiefsymmetrische 2n×2n-Matrix A und eine beliebige 2n×2n-Matrix B gilt

• Pf(A)² = det(A)

• Pf(BAB^T) = det(B)Pf(A)

• Pf(λA) = λⁿPf(A)

• Pf(A^T) = ( − 1)ⁿPf(A)

• Für eine blockdiagonale Matrix

$A_1\oplus A_2=\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}$

gilt Pf(A₁⊕A₂) = Pf(A₁)Pf(A₂).

• Für eine beliebige n×n-Matrix M gilt:

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & M \\ -M^T & 0 \end{bmatrix} = (-1)^{n(n-1)/2}\det M.$

Anwendungen

Die pfaffsche Determinante ist ein invariantes Polynom einer schiefsymmetrischen Matrix (Hinweis: Sie ist nicht invariant bei einem allgemeinen Wechsel der Basis, sondern nur bei einer orthogonalen Transformation). Als solche ist sie wichtig für die Theorie der charakteristischen Klassen. Sie kann insbesondere benutzt werden um die Eulerklasse einer riemannschen Mannigfaltigkeit zu definieren. Diese wird in dem Satz von Gauß-Bonnet benutzt.

Die Anzahl der perfekten Paarungen in einem planaren Graphen entspricht dem Absolutwert einer pfaffschen Determinante, welche in polynomialer Zeit berechenbar ist. Dies ist insbesondere deshalb überraschend, weil das Problem für allgemeine Graphen sehr schwer ist (Sharp-P-Vollständig). Das Ergebnis wird in der Physik benutzt um die Partitionsfunktion des Ising-Modells von Spingläsern zu berechnen. Dabei ist der zugrundeliegende Graph planar. Vor kurzem wurde sie auch benutzt, um effiziente Algorithmen für sonst anscheinend unlösbare Probleme zu entwickeln. Dazu zählt die effiziente Simulation von bestimmten Typen der Quanten-Berechnungen.

Geschichte

Der Begriff pfaffsche Determinante wurde von Arthur Cayley geprägt, der ihn 1852 benutzte: "The permutants of this class (from their connection with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term Pfaffians." Dies geschah zu Ehren des deutschen Mathematikers Johann Friedrich Pfaff.

Weblinks

• Pfaffian at PlanetMath.org (englisch)