- Postliminale C*-Algebra
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Postliminale C*-Algebren sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C*-Algebren. Alternative Bezeichnungen, die weiter unten motiviert werden, sind GCR-Algebra oder Typ-I-C*-Algebra. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung der Klasse der liminalen C*-Algebren.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Eine C*-Algebra A heißt postliminal, wenn für jedes echte, abgeschlossene, zweiseitige Ideal
die Quotientenalgebra A / I ein von {0} verschiedenes liminales Ideal enthält.
Damit ist der Begriff der postliminalen C*-Algebra auf den der liminalen C*-Algebra zurückgeführt und stellt offenbar eine Verallgemeinerung dar. Das wird auch durch die erste der folgenden Charakterisierungen deutlich.
Charakterisierungen
Bilder irreduzibler Darstellungen
Ist π eine irreduzible Darstellung der C*-Algebra A auf dem Hilbertraum H, so enthält A / ker(π) nach Definition ein von {0} verschiedenes liminales Ideal. Man kann zeigen, dass durch
eine irreduzible Darstellung
dieses Ideals definiert wird. Da I liminal ist, fällt das Bild
mit der Algebra K(H) der kompakten Operatoren zusammen und daraus folgt
. Das Bild einer jeden irreduziblen Darstellung umfasst also die kompakten Operatoren und davon gilt sogar die Umkehrung:
- Eine C*-Algebra A ist genau dann postliminal, wenn
für jede irreduzible Darstellung
von A.
Für liminale C*-Algebren hat man eine fast gleich lautende Charakterisierung, die Inklusion ist lediglich durch eine Gleichheit ersetzt (siehe Artikel liminale C*-Algebra). Da man liminale C*-Algebren wegen dieser Beziehung zu den kompakten Operatoren auch CCR-Algebren nennt (CCR=completely continuous representations), heißen postliminale C*-Algebren aus demselben Grunde auch GCR-Algebren (GCR = generalized completely continuous representations).
Kompositionsreihen
Eine Kompositionsreihe einer C*-Algebra A ist eine Familie
von abgeschlossenen, zweiseitigen Idealen
, wobei
- α ist eine Ordinalzahl (β durchläuft also alle Ordinalzahlen bis α einschließlich.)
und
.
- Für
gilt
- Ist
eine Limeszahl, so ist Iγ der Abschluss von
.
Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Charakterisierung beweisen:
- Eine C*-Algebra A ist genau dann postliminal, wenn es eine Kompositionsreihe
von A gibt, so dass alle Quotienten Iβ + 1 / Iβ liminal sind.
Im Falle separabler C*-Algebren kann man hier den Begriff der Ordinalzahl umgehen, denn wenn die Ideale der Kompositionsreihe alle verschieden sind (was keine weitere Einschränkung darstellt), so ist α maximal
und man kann die Kompositionsreihe mit natürlichen Zahlen indizieren.
Typ I
Eine Darstellung
einer C*-Algebra A heißt vom Typ I, falls die vom Bild π(A) erzeugte von-Neumann-Algebra vom Typ I ist, das heißt wenn der Bikommutant
eine Typ-I-von-Neumann-Algebra ist.
- Eine C*-Algebra A ist genau dann postliminal, wenn jede Darstellung vom Typ I ist.
Daher nennt man postliminale C*-Algebren auch Typ-I-C*-Algebren. Diese Bezeichnung kann aber zur Verwirrung Anlass geben, denn eine Typ-I-von-Neumann-Algebra, die ja auch eine C*-Algebra ist, ist im Allgemeinen keine Typ-I-C*-Algebra, wie das Beispiel A = L(H) mit unendlich-dimensionalem Hilbertraum H zeigt.
Spektrum
Ist [π] eine Äquivalenzklasse irreduzibler Darstellungen von A, also ein Element des Spektrums
, so hängt das Ideal ker(π) nur von der Äquivalenzklasse [π] und nicht von der konkreten Darstellung π ab. Da die Kerne irreduzibler Darstellungen definitionsgemäß die primitiven Ideale sind, ist die Kernbildung ,
, eine Abbildung
vom Spektrum in den Raum der primitiven Ideale. Diese ist nach Konstruktion surjektiv, im Allgemeinen aber nicht injektiv.
- Ist A eine postliminale C*-Algebra, so ist die Kernabbildung
injektiv. Ist A separabel, so gilt hiervon die Umkehrung.
Es ist offen, ob die genannte Umkehrung auch im Falle nicht-separabler C*-Algebren gilt.
Beispiele
- Liminale C*-Algebren sind postliminal.
- Es sei T die vom Shiftoperator
erzeugte C*-Algebra, die sogenannte Toeplitz-Algebra (nach Otto Toeplitz). Da 1 − sns * n die Orthogonalprojektion auf den von den Basisvektoren
erzeugten Unterraum und damit ein kompakter Operator ist, kann man zeigen, dass
. Weiter gilt, dass
, wobei
die Kreislinie ist, denn T / K(H) wird von der Restklasse s + K(H) erzeugt, und diese hat die Kreislinie als Spektrum. Man hat sogar eine exakte Sequenz
.
- Jedenfalls ist durch I0: = {0},I1: = K(H),I2: = T eine Kompositionsreihe von T gegeben, und die Quotienten
und
sind liminal. Daher ist T postliminal, aber nicht liminal, denn
ist eine irreduzible Darstellung, die den nicht-kompakten Operator s im Bild enthält.
ist ein Beispiel für eine C*-Algebra, die nicht postliminal ist. Die Calkin-Algebra ist ein weiteres Beispiel einer nicht-postliminalen C*-Algebra.
Eigenschaften
- Eine Unter-C*-Algebra einer postliminalen C*-Algebra ist wieder postliminal.
- Ist
ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in der postliminalen C*-Algebra A, so ist auch A / I postliminal.
- Ist
ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in der C*-Algebra A und sind I und A / I postliminal, so ist auch A postliminal.
- Postliminale C*-Algebren sind nuklear.
- Ist A postliminal, so besitzt A eine Kompositionsreihe
, so dass alle Quotienten Iβ + 1 / Iβ C*-Algebren mit stetiger Spur sind. Das verschärft die oben mittels Kompositionsreihen gegebene Charakterisierung.
- Eine postliminale C*-Algebra A ist genau dann liminal, wenn jeder Punkt in
abgeschlossen bzgl. der Zariski-Topologie ist, das heißt wenn das Spektrum
ein T1-Raum ist.
Quellen
- W. Arveson: Invitation to C*-algebras, ISBN 0387901760
- J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969
- Eine C*-Algebra A ist genau dann postliminal, wenn
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