- Zentralbinomialkoeffizient
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In Mathematik ist der n-te mittlere Binomialkoeffizient für eine nichtnegative ganze Zahl n gegeben durch
Der Name "mittlerer Binomialkoeffizient" kommt daher, dass diese Binomialkoeffizienten im pascalschen Dreieck genau in der Zeilenmitte liegen:
1 1 1 1 1 3 3 1 1 4 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 56 28 8 1 Die ersten mittleren Binomialkoeffizienten sind also (Folge A000984 in OEIS):
- 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, …
Inhaltsverzeichnis
Darstellungen
Es gilt
Der Bruch ist verwandt mit dem Wallis-Produkt.
Abschätzungen
Mit Hilfe der Stirling-Formel erhält man für die Abschätzung:
Also gilt (zur Notation siehe Landau-Symbol):
Genauer:
Erzeugende Funktion
Die erzeugende Funktion lautet
Zahlentheoretische Eigenschaften
Nach dem Satz von Wolstenholme gilt für Primzahlen
(für die Symbolik siehe Kongruenz (Zahlentheorie)).
Außerdem kommen keine ungeraden Zahlen außer 1 vor.
Erdős und Graham zeigten außerdem, dass die Zahlen für n > 4 nie quadratfrei sind[1].
Integraldarstelung
Eine Integraldarstellung lautet wie folgt:
Reihen der Kehrwerte
Es gilt:
Die einzelnen Nachkommastellen bilden Folge A073016 in OEIS.
Einige weitere ähnliche Reihen sind:
vgl. Folge A073010 in OEIS, Folge A086463 in OEIS, -, Folge A086464 in OEIS, -. Dabei bezeichnet die Digamma-Funktion, die Trigammafunktion und allgemein die n-te Polygammafunktion; die Riemannsche Zetafunktion und die Kreiszahl.
Ganz allgemein gilt folgende wunderschöne Formel:
für , wobei die Hypergeometrische Funktion bezeichnet; vgl. [3].
Auch die entsprechenden anternierenden Reihen konvergieren, und zwar zu folgenden Grenzwerten:
vgl. Folge A086465 in OEIS, Folge A086466 in OEIS, Folge A086467 in OEIS, Folge A086468 in OEIS.
Analog lässt sich allgemein schreiben:
Verwandte Begriffe
Eng mit den mittleren Binomialkoeffizienten verwandt sind die Catalan-Zahlen Cn. Sie sind gegeben durch
Verallgemeinerung
Im pascalschen Dreieck haben nur die Zeilen mit geradzahligem Index einen eindeutigen mittleren Eintrag, die Zeilen mit ungeradzahligem Index haben dagegen zwei in der Mitte liegende Einträge. Da diese beiden Einträge jedoch stets übereinstimmen, werden sie gelegentlich in die Definition des mittleren Binomialkoeffizienten mit einbezogen, sie lautet dann:
- für .
Die erste Definition erhält man, wenn man hier die geraden Zahlen m betrachtet.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Central Binomial Coefficients auf MathWorld (englisch)
Einzelnachweise
- ↑ P. Erdős. R. L. Graham, I. Z. Ruzsa, E. G. Straus: On the Prime Factors of . Math. Comput. 29, S. 83-92, 1975.
- ↑ V. H. Moll: Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals. MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf
- ↑ S. Plouffe: The Art of Inspired Guessing. 7. Aug. 1998; http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired.html
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