Polygamma-Funktion

In der Mathematik sind die Polygamma-Funktionen eine Reihe spezieller Funktionen, die als die Ableitungen der Funktion logΓ(x) definiert sind. Dabei bezeichnet Γ(x) die Gammafunktion.

Die ersten beiden Polygammafunktionen werden Digammafunktion und Trigammafunktion genannt.

Die ersten Polygammafunktionen im Reellen (m=0, m=1 , m=2, m=3, m=4)

Darstellung der ersten fünf Polygammafunktionen in der komplexen Ebene

lnΓ(z)	ψ(0)(z)	ψ(1)(z)	ψ(2)(z)	ψ(3)(z)	ψ(4)(z)

Notation

Die Polygammafunktionen werden mit dem kleinen griechischen Buchstaben psi (ψ) bezeichnet. Bei der ersten Polygammafunktion, der Digammafunktion, wird der Index meist weggelassen oder als 0 festgelegt; die zweite Polygammafunktion, also die Trigammafunktion, wird dann mit ψ₁ (oder selten ψ⁽¹⁾) bezeichnet und ist die zweite Ableitung von logΓ(x). Allgemein ist die n-te Polygammafunktion oder Polygammafunktion der Ordnung n mit ψ_n oder ψ⁽ⁿ⁾ bezeichnet und als die (n + 1)-te Ableitung von logΓ(x) definiert.

Definition und weitere Darstellungen

Es ist

$\psi_n=\frac{\mathrm d^{n+1}}{\mathrm dx^{n+1}}\ln\Gamma(x)=\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\,\psi(x)$

mit der Digammafunktion ψ(x). Derartige Ableitungen werden auch als logarithmische Ableitungen von Γ bezeichnet.

Eine Integraldarstellung ist

$\psi_m(z)= (-1)^{m+1}\int\limits_0^\infty \frac{t^m e^{-zt}}{1-e^{-t}}\,\mathrm dt$

für Re(z) > 0 und m > 0.

Eigenschaften

Differenzengleichungen

Die Polygammafunktionen haben die Differenzengleichungen

$\psi_m(z+1)= \psi_m(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-m-1}.$

Multiplikationsformel

Die Multiplikationsformel ist gegeben durch

$k^{m} \psi_{m-1}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1} \psi_{m-1}\left(z+\frac{n}{k}\right)$

für m > 1 (Zum Fall m = 0, also der Digammafunktion, siehe dort.)

Reihendarstellungen

Eine Reihendarstellung der Polygammafunktion lautet

$\psi_m(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty \frac1{(z+k)^{m+1}}$

wobei m > 0 und $z\not= -1,-2,-3,\ldots$ eine beliebige komplexe Zahl außer den negativen ganzen Zahlen ist. Die Formel lässt sich einfacher unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion ζ(x,y) schreiben als

$\psi_m(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z).$

Diese Formel kann auch als Verallgemeinerung der Polygammafunktionen auf beliebige, nichtganze Ordnungen m gedeutet werden.

Eine weitere Reihendarstellung ist

$\psi_n(z) = -\gamma \delta_{n,0} \; - \; \frac{(-1)^n n!}{z^{n+1}} \; + \; \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k} \delta_{n,0} \; - \; \frac{(-1)^n n!}{(z+k)^{n+1}}\right),$

wobei δ_n,0 das Kronecker-Delta bezeichnet.

Skizze zur Herleitung:

Nach Oskar Schlömilch ist unter Verwendung des weierstraßschen Produktsatzes.

$\frac1{\Gamma(z)} = z \; \mbox{e}^{\gamma z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) \; \mbox{e}^{-z/n} \qquad | \text{ Kehrwert}$

$\Gamma(z) = \frac{\mbox{e}^{-\gamma z}}{z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \; \mbox{e}^{z/n} \qquad | \text{ Logarithmus}$

$\ln\Gamma(z) = -\gamma z - \ln(z) + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{z}{n} - \ln(1 + \tfrac{z}{n}) \right) \qquad | \;n\text{-te Ableitung}=\psi_n$

$\psi_n(z) = \frac{\mathrm d^{n+1}}{\mathrm dz^{n+1}}\ln\Gamma(z) = -\gamma\delta_{n,0} \; - \; \frac{(-1)^n n!}{z^{n+1}} \; + \; \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac1k \delta_{n,0} \; - \; \frac{(-1)^n n!}{(z+k)^{n+1}}\right)$

Die Taylor-Reihe um z = 1 ist gegeben durch

$\psi_m(z+1)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!},$

die für | z | < 1 konvergiert. ζ bezeichnete dabei die Riemannsche Zetafunktion.

Spezielle Werte

Die Werte der Polygammafunktionen für rationale Argumente lassen sich meist ausdrücken unter Verwendung von Konstanten und Funktionen wie π, , Cl(x), ζ, G, β(x); z.B.

$\psi_n(\tfrac12)=(-1)^{n+1}n!(2^{n+1}-1)\zeta(n+1), \qquad n\in\N$

Allgemein gilt ferner:

$\psi_n(1)=(-1)^{n+1}n!\zeta(n+1),\qquad n\in\N$

Referenzen

• Milton Abramowitz und Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0. Siehe §6.4
• Eric W. Weisstein: Polygamma Function auf MathWorld, in functions.wolfram.com, in references.worlfram.com.

• Olivier Espinosa und Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function