Höhere transzendente Funktionen

Das Gebiet der speziellen Funktionen beschäftigt sich mit gewissen Funktionen, die sowohl in der Mathematik selbst als auch in den angewandten Wissenschaften (z. B. mathematische Physik) häufig auftreten. Die meisten Funktionen von Interesse sind dabei holomorph oder meromorph und lassen sich in Reihen entwickeln. Eine Motivation, solche Funktionen als speziell auszuzeichnen, besteht darin, dass diese Funktionen in vielfältiger Weise in Beziehung zueinander stehen. Das entsprechende Forschungsgebiet versucht, diese Beziehungen zu katalogisieren beziehungsweise neue zu finden. Die speziellen Funktionen sind eine Untergruppe der transzendenten Funktionen und werden aufgrund ihrer Sonderstellung auch als höhere transzendente Funktionen bezeichnet.

Liste einiger spezieller Funktionen

• Folgende spezielle Funktionen sind Verallgemeinerungen der Fakultät bzw. der Gamma-Funktion
  • Gammafunktion
  • Betafunktion
  • Pochhammer-Symbol
  • Polygamma-Funktionen (Spezialfälle: Digammafunktion, Trigammafunktion)
  • Barnes'sche G-Funktion
• Hypergeometrische Funktionen
  • Spezielle Funktionen, die sich aus der hypergeometrischen Funktion für spezielle Parameter ergeben
    • Legendre-Polynome
    • Hermitesche Polynome
    • Laguerre-Polynome
    • Bessel-Funktionen
• Funktionen, die als verallgemeinerte Logarithmen verwendet werden
  • Polylogarithmen
  • Nielsen-Funktion
  • Clausen-Funktionen
• Weitere spezielle Funktionen
  • Elliptische Integral-Funktionen
  • Riemannsche Zetafunktion und Riemannsche Xi-Funktion
  • Dirichletsche Eta-Funktion
  • Dirichletsche Lambda-Funktion
  • Dirichletsche Beta-Funktion

In der mehrdimensionalen Analysis sind auch spezielle Funktionen in mehreren (in der Regel komplexen) Variablen gebräuchlich.

• Spezielle Funktionen in mehreren Parametern
  • Verallgemeinerte hypergeometrische Funktionen
    • Appellsche Funktionen

Spezielle Funktionen der theoretischen Physik:

• Clebsch-Gordan-Symbole
• Wigner-nj-Symbole

Anwendungsgebiete

Viele dieser Funktionen sind Lösungen von Differentialgleichungen. Spezielle Funktionen sind auch das Rückgrat von vielen Berechnungen mit Computeralgebrasystemen (Mathematica, Maple, …).

In jüngerer Zeit werden auch die Eigenschaften von speziellen Funktionen mit Hilfe von Computeralgebra und „symbolic computation“ untersucht. In der Analytischen Zahlentheorie sind sie von besonderer Bedeutung.

Literatur

• Irene A. Stegun und Milton Abramowitz: Handbook of Mathematical Functions, Dover Press (Online-Version)
• A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger und F. Tricomi: Higher Transcendental Functions, McGraw-Hill, New York, 1953