Satz von Dvoretzky-Rogers

Der Satz von Dvoretzky-Rogers, nach Aryeh Dvoretzky und Claude Ambrose Rogers, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, der sich mit dem Konvergenzverhalten von Reihen in Banachräumen befasst.

Lemma von Dvoretzky-Rogers

Wir beginnen mit einem Lemma über endlichdimensionale normierte Räume, das die Existenz einer Basis sichert, bezüglich der eine Abschätzung gegen die euklidische Norm der Koeffizienten besteht:

• Lemma von Dvoretzky-Rogers: In einem n-dimensionalen normierten Raum E gibt es Vektoren $x_1,\ldots,x_n \in E$ mit Norm 1, so dass für $1 \le m \le n$ und alle Koeffizienten $t_1,\ldots,t_m \in \R$ die folgende Ungleichung gilt:

$\|\sum_{i=1}^m t_ix_i\| \le (1+\sqrt{\frac{m(m-1)}{n}})\cdot \sqrt{\sum_{i=1}^m t_i^2}$.

Die Güte der Abschätzung hängt von der Anzahl m der Summanden ab, ist ungünstigstenfalls gleich $1+\sqrt{n-1}$ und damit dimensionsabhängig. Will man von der Dimension unabhängig sein, so muss man die Anzahl der Summanden einschränken, wie dies im folgenden Korrollar, das der wesentliche Bestandteil des Beweises zum Satz von Dvoretzky-Rogers ist, geschieht:

• Korollar: Ist $n\ge m(m-1)$, so gibt es in jedem n-dimensionalen normierten Raum E Vektoren $x_1,\ldots,x_m \in E$ mit Norm 1, so dass für alle Koeffizienten $t_1,\ldots,t_m \in \R$ folgende Ungleichung gilt:

$\|\sum_{i=1}^m t_ix_i\| \le 2 \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^m t_i^2}$.

Satz von Dvoretzky-Rogers

• Sei E ein unendlichdimensionaler Banachraum und (a_n)_n eine Folge positiver Zahlen mit $\Sigma_n a_n^2 < \infty$. Dann existiert eine Folge (x_n)_n von Vektoren aus E mit $\|x_n\| = a_n$, so dass die Reihe Σ_nx_n unbedingt konvergiert.

Zum Beweis verschafft man sich eine geeignete Folge endlichdimensionaler Teilräume, aus denen man mit Hilfe obigen Korollars zum Lemma von Dvoretzky-Rogers die gesuchten Vektoren auswählt.

Anwendungen

Eine Charakterisierung endlichdimensionaler Räume

Nach dem Satz von Dvoretzky-Rogers gibt es in jedem unendlichdimensionalen Banachraum eine Folge (x_n)_n mit $\|x_n\| = 1/n$, so dass die Reihe Σ_nx_n unbedingt konvergiert, denn bekanntlich gilt $\Sigma_n 1/n^2 < \infty$. Da $\Sigma_n \|x_n\|$ divergiert (siehe Harmonische Reihe), ist die Reihe nicht absolut konvergent. Also enthält jeder unendlichdimensionale Banachraum eine unbedingt konvergente Reihe, die nicht absolut konvergiert. Da unbedingt und absolut konvergente Reihen in endlichdimensionalen Räumen nach dem steinitzschen Umordnungssatz zusammenfallen, erhält man folgende Charakterisierung der endlichdimensionalen Räume, die manchmal auch als Satz von Dvoretzky-Rogers bezeichnet wird.

• Ein Banachraum ist genau dann endlichdimensional, wenn jede unbedingt konvergente Reihe auch absolut konvergiert.

Ein Satz von Orlicz

Nach einem Satz von Władysław Orlicz gilt für jede unbedingt konvergente Reihe Σ_nx_n in L^p[0,1] , $1\le p < \infty$, dass $\Sigma_n \|x_n\|^r<\infty$, wobei r: = max(2,p). Daher kann eine Reihe Σ_nx_n mit $\Sigma_n \|x_n\|^2=\infty$ in L²[0,1] nicht unbedingt konvergent sein. Dies zeigt, dass sich die Voraussetzung im Satz von Dvoretzky-Rogers nicht abschwächen lässt, denn in diesem Fall ist die Bedingung sogar notwendig. Umgekehrt zeigt der Satz von Dvoretzky-Rogers, dass die zunächst unnatürlich erscheinende Einschränkung auf Exponenten $\ge 2$ in obigem Satz von Orlicz unumgänglich ist, denn es gilt:

• Folgt in einem unendlichdimensionalen Banachraum aus der unbedingten Konvergenz einer Reihe Σ_nx_n stets $\Sigma_n \|x_n\|^r<\infty$ für ein festes r, so gilt $r\ge 2$.

Ist nämlich (a_n)_n im Folgenraum $\ell^2$, so gibt es nach dem Satz von Dvoretzky-Rogers eine unbedingt konvergente Reihe Σ_nx_n mit $\|x_n\| = |a_n|$ für alle n, und für diese Reihe gilt nach Voraussetzung $\Sigma_n |a_n|^r = \Sigma_n \|x_n\|^r < \infty$. Damit ist $\ell^2\subset \ell^r$ gezeigt, und das bedeutet $2\le r$.

Quellen

• A. Dvoretzky and C.A. Rogers: Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 36 (1950), 192-197
• M. I. Kadets, V. M. Kadets: Series in Banach Spaces. Operator Theory: Advances and Applications, Bd. 94, Birkhäuser (1997), ISBN 978-3764354015.