Verallgemeinerte Poisson-Verteilung

Verallgemeinerte Poisson-Verteilung

Die verallgemeinerte Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die vor allem in der Versicherungsmathematik verwendet wird. Im Vergleich zur Poisson-Verteilung besitzt sie zwei Parameter, ist dadurch wesentlich flexibler als diese.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine diskrete Zufallsvariable Xn unterliegt der Verallgemeinerten Poisson-Verteilung mit den Parametern λ (Ereignisrate) und θ, wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

P(X_n=k)= \frac{\theta(\theta+k\lambda)^{k-1}\; \mathrm{e}^{-\theta-k\lambda}}{k!}

besitzt.

Eigenschaften

  • Die Varianz ist immer größer als der Erwartungswert. Diese Eigenschaft nennt man Overdispersion.
  • Für die verallgemeinerte Poisson-Verteilung sind Rekursionen für die Summenverteilung bekannt, wie man sie auch aus der Panjer-Verteilung kennt.
  • Für viele Anwendungsfälle ist die implizite Definition der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ausreichend.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu

\operatorname{E}(X_n)   = \frac{\theta}{1-\lambda}.

Varianz

Für die Varianz erhält man

\operatorname{Var}(X_n)  = \frac{\theta}{(1-\lambda)^{3}}.

Standardabweichung

Aus der Varianz erhält man wie üblich die Standardabweichung

\sigma  = \sqrt{\frac{\theta}{(1-\lambda)^{3}}}.

Variationskoeffizient

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

\operatorname{VarK}(X)    = \sqrt{\frac{1}{\theta(1-\lambda)}}.

Schiefe

Die Schiefe lässt sich darstellen als

\operatorname{v}(X) = \frac{1-2\lambda}{\sqrt{\theta(1-\lambda)}}.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

ϕX(s) = eθ(u − 1) mit u = eiseλ(u − 1).

Erzeugende Funktion

Für die erzeugende Funktion erhält man

gX(s) = eθ(u − 1) mit u = zeλ(u − 1).

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ist

mX(s) = eθ(u − 1) mit u = eseλ(u − 1).

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