Verallgemeinerte Poisson-Verteilung
- Verallgemeinerte Poisson-Verteilung
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Die verallgemeinerte Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die vor allem in der Versicherungsmathematik verwendet wird. Im Vergleich zur Poisson-Verteilung besitzt sie zwei Parameter, ist dadurch wesentlich flexibler als diese.
Definition
Eine diskrete Zufallsvariable Xn unterliegt der Verallgemeinerten Poisson-Verteilung mit den Parametern λ (Ereignisrate) und θ, wenn sie die Wahrscheinlichkeiten
besitzt.
Eigenschaften
- Die Varianz ist immer größer als der Erwartungswert. Diese Eigenschaft nennt man Overdispersion.
- Für die verallgemeinerte Poisson-Verteilung sind Rekursionen für die Summenverteilung bekannt, wie man sie auch aus der Panjer-Verteilung kennt.
- Für viele Anwendungsfälle ist die implizite Definition der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ausreichend.
Erwartungswert
Der Erwartungswert ergibt sich zu
- .
Varianz
Für die Varianz erhält man
- .
Standardabweichung
Aus der Varianz erhält man wie üblich die Standardabweichung
- .
Variationskoeffizient
Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:
- .
Schiefe
Die Schiefe lässt sich darstellen als
- .
Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion hat die Form
- ϕX(s) = eθ(u − 1) mit u = eiseλ(u − 1).
Erzeugende Funktion
Für die erzeugende Funktion erhält man
- gX(s) = eθ(u − 1) mit u = zeλ(u − 1).
Momenterzeugende Funktion
Die momenterzeugende Funktion der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ist
- mX(s) = eθ(u − 1) mit u = eseλ(u − 1).
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