Bohrscher Radius

Der Bohrsche Radius a₀ bezeichnet den Radius des Wasserstoffatoms im niedrigsten Energiezustand und somit auch den Radius seiner ersten und kleinsten Elektronenschale im Rahmen des Bohrschen Atommodells. Eine exaktere quantenmechanische Betrachtung ergibt, dass im niedrigsten Energiezustand die Wahrscheinlichkeit, das Elektron zu messen, beim Bohrschen Radius maximal wird. Der relevantere Erwartungswert für den Radius ist jedoch das 1,5-fache des Bohrschen Radius.

Formeln und Zahlenwert

Der Bohrsche Radius errechnet sich gemäß der Formel:

$a_0 = {{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}\over{m_{\mathrm{e}} e^2}}\,.$

Dabei ist

ε₀ die elektrische Feldkonstante im Vakuum,

$\hbar$ die durch 2π geteilte Plancksche Konstante,

m_e die Masse des Elektrons und

e die Ladung des Elektrons.

Ebenso wird der Bohrsche Radius beschrieben durch den Quotienten aus der Compton-Wellenlänge des Elektrons, λ_e , und dem 2π-fachen der Feinstrukturkonstante α :

$a_0 = \frac{\lambda_{\mathrm{e}}}{2 \pi \alpha}$

mit

$\quad \lambda_{\mathrm{e}}=\frac{2\pi\hbar}{m_{\mathrm{e}}c}\ , \ \alpha=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\,.$

Der Wert beträgt nach derzeitiger Messgenauigkeit der in die Rechnung einfließenden Naturkonstanten:^[1]

$a_0 = 0{,}529\,177\,210\,92\,(17) \cdot 10^{-10} \,\rm{m}$,

wobei die eingeklammerten Ziffern die geschätzte Standardabweichung von 0,000 000 000 17  angeben.

Der Bohrsche Radius wird in der Atomphysik als Längeneinheit benutzt, als Näherungen werden 52,9 pm oder ein halbes Ångström (=50 pm) verwendet.

Herleitung

Siehe auch: Bohrsches Atommodell

Mithilfe einer einfachen Abschätzung und unter Berücksichtigung der Unschärferelation lässt sich der Bohrsche Radius ermitteln.

Es wird angenommen, der Abstand des im Wasserstoffatom gebundenen Elektrons zum Kern betrage für gewöhnlich a. Der Unschärferelation wegen lässt sich der Impuls des Elektrons grob mit $p=\hbar / a$ angeben, wobei die Ortsobservable x hier durch den Abstand a ersetzt wird. Die kinetische Energie beträgt demnach

$E_{kin.}(a)=\frac 12 m_e v^2 = \frac{p^2}{2m_e}= \frac{\hbar^2}{2m_ea^2}. \!\,$

Die potentielle Energie ist gemäß dem Coulombschen Gesetz

$V(a)=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{a}, \!\,$

woraus sich die Gesamtenergie

$E(a)=E_{kin.}(a)+V(a)=\frac{\hbar^2}{2m_ea^2}-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{a} \!\,$

ergibt. Je weiter sich das Elektron vom Kern entfernt, desto kleiner wird seine kinetische Energie, wegen des negativen Vorzeichens wächst damit aber seine potentielle Energie. Im Grundzustand realisiert sich eine Art „Kompromiss“, der die Gesamtenergie minimal macht. Der zugehörige Radius a ergibt sich, indem man die Energie nach a differenziert und die Ableitung gleich Null setzt. So erhält man

$a_0= \frac{4\hbar^2 \pi \varepsilon_0 }{m_e e^2} \approx 0{,}53 \cdot 10^{-10} \,\rm{m} .$

Das ist genau der Bohrsche Radius.

Wenn man a₀ nun in E(a) einsetzt, erhält man die sogenannte Rydberg-Energie, die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs

$E(a_0)= - \frac{1}{2} \frac{m_e \, e^4}{(4\pi)^2 \, \varepsilon_0^2 \,\hbar^2} = - \frac{1}{2} \frac{e^2}{4\pi\,\varepsilon_0 \,a_0}=-13{,}6 \,\rm{eV}.$

Historisches

Niels Bohr erwähnt in seinem Aufsatz^[2] den österreichischen Physiker Arthur Erich Haas, der die Formel für a₀ schon 1910/11 gefunden und damit erstmals die Rolle erkannt hatte, die die Plancksche Konstante h in der Atomphysik spielen könnte. In seinem Modell läuft ein Elektron auf der Oberfläche einer mit 1e positiv geladenen Kugel um, was nach dem Gaußschen Gesetz der Elektrostatik dieselbe Anziehungskraft ergibt wie ein punktförmiger Kern. Dies Modell fand damals keine Beachtung, u. a. weil man auch beim Wasserstoff noch von einer viel größeren Anzahl von Elektronen ausging.

Quellen

• Feynman, R.P.: „Vorlesungen über Physik. Quantenmechanik.“ Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, München 2007.
• Brown, L.M., Pais, A., Pippard, Sir B. (Hrsg.): "Twentieth Century Physics" Bd. 1, Inst. of Phys. Publishing Ltd. Bristol, 1995 (ISBN 0750303530)

Einzelnachweise

1. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 18. Juni 2011.  Wert für den Bohrschen Radius
2. ↑ N. Bohr: On the Constitution of Atoms and Molecules. In: Philosophical Magazine. 26, 1913, S. 4.