Bravais-Gitter

Die Bravais-Gitter oder auch Raumgitter stellen die Menge aller im Raum möglichen Einheitszellen der Kristalle dar.

Auguste Bravais klassifizierte die verschiedenen möglichen Translationsgitter. Diese Gitter lassen sich bilden, wenn gleiche parallelepipede Zellen in alle Richtungen aneinander gelegt werden. Die Ecken der Zellen ergeben dann ein dreidimensionales Punktgitter, die im realen Kristall die Schwerpunkte der Kristallbausteine (z. B. Atome oder Moleküle) darstellen.

Im Allgemeinen ist das erzeugende Parallelepiped ein schiefes Prisma, bei dem sich alle drei Seitenlängen und Winkel voneinander unterscheiden. In diesem Fall handelt es sich um ein triklines Kristallsystem. Genügen die Seitenlängen und/oder Winkel weiteren Bedingungen, so können sich höhere Symmetrien ergeben. Das kubische Kristallsystem verlangt beispielsweise rechte Winkel und gleich lange Zellkanten. Bravais fiel auf, dass es Gittertypen gibt, die eine Besonderheit aufweisen: Ihre Symmetrie ist höher als an der kleinsten möglichen Zelle ohne weiteres erkennbar wäre. Beim Halit ist es möglich, die halbe Flächendiagonale eines Würfels als Translation zu wählen. Das entstehende Gitter hat jedoch ein Rhomboeder mit dem Winkel von 70°31'44" als kleinstes Parallelepiped. Aus Symmetriegründen ist es viel zweckmäßiger, aus dem Gitter einen Würfel als sogenannte Elementarzelle herauszugreifen. Diese kubische Elementarzelle ist größer als der Rhomboeder und enthält in der Mitte jeder Fläche einen weiteren Gitterpunkt. Dieses Gitter wird kubisch flächenzentriert genannt. Es gibt im dreidimensionalen Raum 14 Bravais-Gitter.^[1]

Die kleinstmögliche Zelle im Gitter des Halits ist ein Rhomboeder (blau). Erst die flächenzentrierte Elementarzelle (schwarz) macht die kubische Symmetrie des Gitters deutlich.

Verwendung

Der eigentlich rein mathematische Begriff des Bravais-Gitters findet oft Verwendung in den Naturwissenschaften, wie etwa der Kristallographie, Mineralogie, Materialwissenschaft, Festkörperchemie oder der Festkörperphysik, da sich so die Anordnung der Atome innerhalb eines Kristalls systematisch beschreiben lässt. Hierbei ist jedoch nicht notwendigerweise jeder Gitterpunkt durch ein Atom repräsentiert: Das Bravais-Gitter liefert ausschließlich das mathematische Gerüst, das in einer Kristallstruktur durch Atome (die Basis) aufgefüllt wird. Die Kristallstruktur besteht somit aus dem Gitter und der Basis, welche sich an jedem Gitterpunkt wiederholt, und wird in der Kristallographie als fundamentales Prinzip verstanden. So ergibt sich z. B. das NaCl-Struktur aus einem kubisch-flächenzentrierten Gitter und einer zweiatomigen Basis je eines Na-Kations und Cl-Anions.

Eine besondere Bedeutung hat es bei der Strukturaufklärung von Kristallen. Anhand der Metrik der Reflexe im reziproken Raum und deren systematischer integraler Auslöschung kann das Bravais-Gitter des Kristalls bestimmt werden.

Klassifikation

Die Bravais-Gitter werden anhand ihrer Punktgruppe den sieben Kristallsystemen zugeordnet. Entspricht die reduzierte Zelle des Bravais-Gitters dem Koordinatensystem des Kristallsystems, spricht man von einem primitiven Gitter.

Die weitere Differenzierung der sieben Kristallsysteme zu den 14 Bravais-Gittern erfolgt durch Anordnung weiterer Gitterpunkte, entweder in der Raummitte (raumzentriert oder innenzentriert), auf den Mittelpunkten aller Begrenzungsflächen (flächenzentriert) oder auf den Mittelpunkten der zwei Basisflächen (basiszentriert) der Elementarzelle.

Ein Gitter zusammen mit einer Basis, die aus einem Atom oder auch einer Atomgruppe bestehen kann, stellt eine Kristallstruktur dar.

Im Folgenden sind die Bravais-Gitter nach den Kristallsystemen, mit abnehmender Symmetrie, geordnet.

Rechtwinklige (orthogonale) Achsensysteme

Kubisches Kristallsystem

• höchste Symmetrie
• drei gleichlange Achsen im 90°-Winkel

kubisch-primitiv (sc)	kubisch-raumzentriert (bcc)	kubisch-flächenzentriert (fcc)

Tetragonales Kristallsystem

• zwei gleichlange Achsen, drei 90°-Winkel

tetragonal-primitiv	tetragonal-raumzentriert

Rhombisches Kristallsystem

• auch orthorhombisches Kristallsystem
• drei 90°-Winkel, keine gleichlangen Achsen

rhombisch-primitiv	rhombisch-basiszentriert	rhombisch-raumzentriert	rhombisch-flächenzentriert

Schiefwinklige Achsensysteme

Hexagonales Kristallsystem

• zwei gleichlange Achsen in einer Ebene im 120°-Winkel, die dritte Achse senkrecht dazu

hexagonal-primitiv

Trigonales Kristallsystem

• Trigonale Kristallstrukturen können ebenfalls im hexagonalen Gitter beschrieben werden:

• hexagonale Aufstellung: a = b ≠ c , α = β = 90° , γ = 120° (siehe Abbildung oben)

• Als Spezialfall kann eine rhomboedrische Zentrierung auftreten:

• drei gleichlange Achsen, drei gleiche Winkel ungleich 90° (siehe Abbildung unten)

• nicht mit dem orthorhombischen Kristallsystem zu verwechseln

rhomboedrisch

Monoklines Kristallsystem

• zwei 90°-Winkel, keine gleichlangen Achsen

monoklin-primitiv	monoklin-basiszentriert

Triklines Kristallsystem

• geringste Symmetrie aller Gitter
• keine gleichen Winkel, keine gleichlangen Achsen

triklin

Bravais-Gitter in nicht-dreidimensionalen Räumen

Im Zweidimensionalen gibt es fünf Bravais-Gitter, davon vier primitive^[2]: das schiefwinklige Gitter sowie vier spezielle Typen: das quadratische, das rechteckige, das hexagonale sowie das zentriert-rechteckige Gitter, welches als einziges nicht primitiv ist. Die Oberfläche aller dreidimensionalen Gittertypen besteht aus diesen zweidimensionalen Gittertypen. Sie haben daher in der Oberflächenphysik sowie der Nanotechnologie eine große Bedeutung.

Die fünf zweidimensionalen Bravais-Gitter: 1: schiefwinklig, 2: rechtwinklig, 3: rechtwinklig zentriert, 4: hexagonal, 5: quadratisch. Die Einheitszellen sind grün hinterlegt, während die reduzierten Zellen durch die Basisvektoren aufgespannt werden und mit durchgezogener Linie dargestellt sind.

Im Vierdimensionalen gibt es 52 Bravais-Gitter, von denen 21 primitiv sind.^[3].

Siehe auch

• Kristallfamilie

Weblinks

 Commons: Bravais-Gitter – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

1. ↑ Helmut G. F. Winkler (1950): Hundert Jahre Bravais Gitter. Die Naturwissenschaften, Band 37, Nummer 17, Seiten 385-390, DOI: 10.1007/BF00738360, online abgerufen am 28. Nov. 2010
2. ↑ Martin Henzler, Wolfgang Göpel: Oberflächenphysik des Festkörpers. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-13047-5.
3. ↑ Mackay AL and Pawley GS: Bravais Lattices in Four-dimensional Space. In: Acta. cryst.. 16, 1963, S. 11–19. doi:10.1107/S0365110X63000037.