Brunsche Konstante

Die Brunsche Konstante ist eine mathematische Konstante aus dem Bereich der Zahlentheorie. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Viggo Brun.

Brunsche Konstante für Primzahlzwillinge

Im Jahr 1919 zeigte der Mathematiker Viggo Brun, dass die Summe der Kehrwerte aller Primzahlzwillinge (Paare von Primzahlen, deren Differenz 2 beträgt) konvergiert. Der Grenzwert B₂ dieser Summe wird Brunsche Konstante für Primzahlzwillinge genannt:

$B_2 = \textstyle\!\sum\limits_{p,p+2\;\text{prim}}\!(\frac1{p}+\frac1{p+2}) = (\frac1{3} + \frac1{5}) + (\tfrac1{5} + \tfrac1{7}) + (\tfrac1{11} + \tfrac1{13}) + (\tfrac1{17} + \tfrac1{19}) + (\tfrac1{29} + \tfrac1{31}) + \ldots$

Dieses Ergebnis der analytischen Zahlentheorie ist auf den ersten Blick überraschend, da die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen divergiert, wie bereits im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler bewiesen wurde. Wäre auch B₂ divergent, hätte man einen Beweis für die bis heute offene Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (Alphonse de Polignac (1817–1890) 1849). Aus der Konvergenz lässt sich jedoch nicht auf das Gegenteil schließen.

Berechnung

Die Idee zur Berechnung besteht darin, dass die Summation zunächst möglichst weit durchgeführt wird und dann der fehlende Rest abgeschätzt wird. So haben Daniel Shanks und John William Wrench, Jr. (1911–2009) alle Primzahlzwillinge unterhalb 2·10⁶ benutzt.

Eine Schätzung

$B_2 \approx 1{,}90216\ 05831\ 04$

stammt von Pascal Sebah aus dem Jahr 2002, der hierfür alle Primzahlzwillinge bis 10¹⁶ betrachtete. Die Berechnung von B₂ ist allerdings außerordentlich schwierig, zum einen, da die Reihe sehr langsam konvergiert, zum anderen, da das Auffinden aller großer Primzahlzwillinge äußerst kompliziert ist (siehe auch: Primzahltests).

Die bislang genaueste Abschätzung ist (Stand 16. März 2010)^[1]

$B_2 = 1{,}90216\ 05832\ 09 \pm 0{,}00000\ 00007\ 81.$

Hierfür wurden die Kehrwerte aller 19.831.847.025.792 Primzahlzwillinge unterhalb 2·10¹⁶ summiert:

$\textstyle\sum\limits_{p,p+2\;\text{prim} \atop < 2\cdot 10^{16}}(\frac1{p}+\frac1{p+2}) = 1{,}83180\ 80634\ 32379\ 01198\ 41239\ 12086\ 74712\ 537\ldots$

und der Restterm abgeschätzt.

Brunsche Konstante für Primzahlvierlinge

Neben B₂ gibt es noch die Brunsche Konstante B₄ für Primzahlvierlinge, Paare von Primzahlzwillingen, die einen Abstand von 4 haben (dies ist der kleinstmögliche Abstand zweier Primzahlzwillinge zueinander). Die ersten drei Primzahlvierlinge sind (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19) und (101, 103, 107, 109), also

$B_4 = \left(\tfrac1{5} + \tfrac1{7} + \tfrac1{11} + \tfrac1{13}\right) + \left(\tfrac1{11} + \tfrac1{13} + \tfrac1{17} + \tfrac1{19}\right) + \left(\tfrac1{101} + \tfrac1{103} + \tfrac1{107} + \tfrac1{109}\right) + \ldots$

Da alle Summanden von B₄ auch in B₂ vorkommen und bis auf $\tfrac1{11}$ und $\tfrac1{13}$ keine Summanden doppelt vorhanden sind, konvergiert auch diese Reihe. Sie hat den Wert (Stand 16. März 2010)^[1]

$B_4 = 0{,}87058\ 83799\ 75 \pm 0{,}00000\ 00001\ 14.$

Trivia

• 1994 entdeckte Thomas R. Nicely bei einer Abschätzung von B₂ über alle Primzahlzwillinge bis 10¹⁴ den sogenannten Pentium-FDIV-Bug.
• Gelegentlich wird die Aussage über die Konvergenz der Summe der Reziproken aller Primzahlzwillinge (also die Existenz und Berechenbarkeit der Brunschen Konstanten) als Brunscher Witz bezeichnet. Der mathematische Witz liegt darin, dass trotz des präzisen Ergebnisses von Brun die eigentlich interessierende Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, offen bleibt (und die bejahende Vermutung bis heute nicht bewiesen werden konnte). Die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen ist dagegen divergent, woraus folgt, dass es unendlich viele gibt (Leonhard Euler).

Literatur

• Viggo Brun: La série $\textstyle\frac1{5} + \frac1{7} + \frac1{11} + \frac1{13} + \frac1{17} + \frac1{19} + \frac1{29} + \frac1{31} + \frac1{41} + \frac1{43} + \frac1{59} + \frac1{61} + \ldots$ où les dénominateurs sont «nombres premiers jumeaux» est convergente ou finie, Bulletin des Sciences Mathématiques 43, 1919, S. 100–104 124–128 (französisch; bei Gallica: [1])

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Thomas R. Nicely: Prime Constellations Research Project, 16. März 2010

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Brun’s Constant. In: MathWorld. (englisch)
• Thomas R. Nicely: Prime Constellations Research Project