minus eins

−1

−1 ist in der Mathematik die additive Inverse der 1, das heißt, wenn es zu 1 addiert wird, erhält man das neutrale Element der Addition 0. Es ist eine negative ganze Zahl, die größer als die negative Zwei (−2) und kleiner als null ist.

Die negative Eins hat einige ähnliche, aber zu der positiven Eins leicht verschiedene Eigenschaften.^[1]

−1 steht mit der eulerschen Identität in Beziehung, da  e ^iπ = −1.

In der Informatik ist −1 ein verbreiteter Initialwert für ganze Zahlen und wird dabei oft verwendet, um anzuzeigen, dass der Wert keine sinnvolle Information enthält.

Algebraische Eigenschaften

Eine Zahl mit −1 zu multiplizieren ist äquivalent zum Vorzeichenwechsel. Dies kann gezeigt werden mittels des Distributivgesetzes und des Axioms, dass 1 das neutrale Element der Multiplikation ist: Für eine reelle Zahl x gilt

$x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0 \cdot x=0$

wobei ausgenutzt wird, dass eine reelle Zahl x mal 0 gleich 0 ist, was sich aus Kürzung der folgenden Gleichung ergibt

$0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x \,$

In anderen Worten

$x+(-1)\cdot x=0 \,$

damit ist (−1)·x das additive Inverse zu x bzw. −x.

Quadrieren von −1

Das Quadrat von −1 (das heißt −1 mal −1) ist gleich 1. In der Folge ist ein Produkt von negativen Zahlen positiv.

Um das algebraisch zu beweisen, beginnt man mit der Gleichung

$0 =-1\cdot 0 =-1\cdot [1+(-1)]$

Die erste Gleichung folgt aus obigem Ergebnis. Die zweite folgt aus der Definition von −1 als additivem Inversen von 1: Es ist genau die Zahl die 0 ergibt, wenn sie zu 1 addiert wird. Durch Anwendung der Distributivgesetzes sieht man

$0 =-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot1+(-1)\cdot(-1)=-1+(-1)\cdot(-1)$

Die zweite Gleichung folgt aus der Tatsache, dass 1 das neutrale Element der Multiplikation ist. Durch Addition von 1 auf beiden Seiten der letzten Gleichung folgt

$(-1) \cdot (-1) = 1$

Die obigen Folgerungen gelten auch in jedem Ring, der die abstrakte Algebra der ganzen und reellen Zahlen verallgemeinert.

Quadratwurzel von −1

Die komplexe Zahl i erfüllt   i² = −1   und wird damit als Quadratwurzel von −1 betrachtet. Die einzige andere komplexe Zahl x, welche die Gleichung   x² = −1   erfüllt, ist −i. In der Quaternion-Algebra, welche die komplexe Ebene enthält, hat die Gleichung   x² = −1   unendlich viele Lösungen.^[2]

Potenzen von negativen Ganzzahlen

Die Potenz von reellen Zahlen ohne null kann auf negative Exponenten erweitert werden. Es wird definiert x⁻¹ = 1/x; das heißt wird eine Zahl mit −1 potenziert, so erhält man ihren Kehrwert. Wird diese Definition auf negative Ganzzahlen erweitert, bleibt das Exponentialgesetz für die reellen Zahlen a,b ungleich 0 erhalten:   x^ax^b = x^(a + b)

Potenzen mit negativen Exponenten können auf die invertierbaren Elemente eines Rings durch die Definition von x⁻¹ als inverses Element der Multiplikation mit x erweitert werden.

Binäre Darstellung im Computer

Es gibt auf Computersystemen eine Reihe verschiedener Darstellungen von −1 und negativen Zahlen im allgemeinen. Die meistverwendete ist das Zweierkomplement ihrer positiven Form. Da diese Darstellung auch eine positive Ganzzahl in der binären Standarddarstellung repräsentieren könnte, muss ein Programmierer sorgfältig beide Darstellungen voneinander trennen. Minus eins kann im Zweierkomplement mit der positiven Ganzzahl 2ⁿ − 1 verwechselt werden, wobei n die Anzahl der binären Stellen in der Darstellung ist (die Anzahl von Bits im Datentypen. Beispielsweise repräsentiert 11111111₂ (binary) bzw. FF₁₆ (hex) −1 im Zweierkomplement, aber 255 in der Standarddarstellung.

Einzelnachweise

1. ↑ Jayant V. Deshpande: Mathematical analysis and applications, ISBN 1842651897
2. ↑ mathforum.org