Residuum (Funktionentheorie)

In der Funktionentheorie ist das Residuum einer komplexwertigen Funktion ein Hilfsmittel zur Berechnung von komplexen Kurvenintegralen mit Hilfe des Residuensatzes.

Definition

Komplexe Gebiete

Sei $D\subseteq\mathbb{C}$ ein Gebiet, D_f isoliert in D und $f\colon D\setminus D_f \to \mathbb{C}$ holomorph. Dann existiert zu jedem Punkt $a\in D_f$ eine punktierte Umgebung $U:=U_r(a)\setminus\{a\}\subset D$, die relativ kompakt in D liegt, mit f | _U holomorph. Diesenfalls besitzt f auf U eine Laurententwicklung $\textstyle f|_U(z) =\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-a)^n$. Dann definiert man für das Residuum von f in a

$\operatorname{Res}_a(f) := c_{-1}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U} f(z) dz$.

Riemannsche Zahlenkugel

Die obige Definition kann man auch auf die riemannsche Zahlenkugel $\mathbb{P}_1 = \C \cup \{\infty\}$ erweitern. Sei D_f wieder eine diskrete Menge in $\mathbb{P}_1$ und $f \colon \mathbb{P}_1 \setminus D_f \to \mathbb{C}$ eine holomorphe Funktion. Dann ist für alle $a \in D_f$ mit $a \neq \infty$ das Residuum ebenfalls durch die obige Definition erklärt. Für $a = \infty \in D_f$ setzt man

$\operatorname{Res}_\infty(f) := -c_{-1} = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\gamma} f(z) dz\, ,$

wobei γ ein Kreis mit hinreichend großem Radius ist, der im Uhrzeigersinn orientiert ist, und c _{− 1} ist wie oben der -1. Koeffizient der Laurentreihe.

Eigenschaften und Anmerkungen

• Sei $D \subset \C$ ein Gebiet und $f \colon D \to \C$ eine holomorphe Funktion in a. Dann kann der cauchysche Integralsatz angewendet werden, woraus folgt, dass das Residuum von f in a null ist.
• An der Integraldarstellung erkennt man, dass man auch vom Residuum der Differentialform f(z)dz sprechen kann.
• Nach dem Residuensatz ist die Summe aller Residuen null.

Praktische Berechnung

Folgende Regeln können zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen f,g im Punkt $a\in\mathbb{C}$ in der Praxis verwendet werden:

• Das Residuum ist $\mathbb{C}$-linear, d.h. für $\lambda,\mu\in\mathbb{C}$ gilt: $\operatorname{Res}_a \left( \lambda f + \mu g \right) = \lambda\operatorname{Res}_a f + \mu\operatorname{Res}_a g$
• Hat f in a eine Polstelle 1. Ordnung, gilt: $\textstyle \operatorname{Res}_a f = \lim_{z\rightarrow a} (z-a)f(z)$
• Hat f in a eine Polstelle 1. Ordnung und ist g in a holomorph, gilt: $\operatorname{Res}_a gf=g(a)\operatorname{Res}_a f$
• Hat f in a eine Nullstelle 1. Ordnung, gilt: $\operatorname{Res}_a\tfrac{1}{f} = \tfrac{1}{f'(a)}$
• Hat f in a eine Nullstelle 1. Ordnung und ist g in a holomorph, gilt: $\operatorname{Res}_a\tfrac{g}{f} = \tfrac{g(a)}{f'(a)}$
• Hat f in a eine Polstelle n-ter Ordnung, gilt: $\textstyle \operatorname{Res}_a f = \tfrac{1}{\left(n-1\right)!}\lim_{z\rightarrow a}\frac{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}[(z-a)^nf(z)]$
• Hat f in a eine Nullstelle n-ter Ordnung, gilt: $\operatorname{Res}_a\tfrac{f'}{f}=n$.
• Hat f in a eine Nullstelle n-ter Ordnung und ist g in a holomorph, gilt: $\operatorname{Res}_a g\tfrac{f'}{f}=g(a)n$.
• Hat f in a eine Polstelle n-ter Ordnung, gilt: $\operatorname{Res}_a\tfrac{f'}{f}=-n$.
• Hat f in a eine Polstelle n-ter Ordnung und ist g in a holomorph, gilt: $\operatorname{Res}_a g\tfrac{f'}{f}=-g(a)n$.
• Ist das Residuum am Punkt $\infty$ zu berechnen, so gilt $\operatorname{Res}_\infty f = \operatorname{Res}_0\left(-\tfrac{1}{z^2}f(\tfrac{1}{z})\right)$. Denn mit $w=\tfrac{1}{z}$ gilt $f(w)\mathrm{d}w=f(\tfrac{1}{z})\mathrm{d}\tfrac{1}{z}=-\tfrac{1}{z^2}f(\tfrac{1}{z})\mathrm{d}z$

Die Regeln über die logarithmische Ableitung $\tfrac{f'}{f}$ sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse.

Beispiele

• Wie bereits erwähnt, ist $\operatorname{Res}_a f=0$, wenn f auf einer offenen Umgebung von a holomorph ist.
• Ist $f(z)=\tfrac{1}{z}$, so hat f in 0 einen Pol 1. Ordnung, und es ist $\operatorname{Res}_0 f=1$.
• $\operatorname{Res}_1\tfrac{z}{z^2-1}=\tfrac{1}{2}$, wie man sofort mit der Linearität und der Regel von der logarithmischen Ableitung sieht, denn $z\mapsto z^2-1$ hat in 1 eine Nullstelle 1. Ordnung.
• Die fortgesetzte Gammafunktion hat in − n für $n\in\mathbb{N}_0$ Pole 1. Ordnung, und das Residuum dort ist $\operatorname{Res}_{-n}\Gamma=\tfrac{(-1)^n}{n!}$.

Algebraische Sichtweise

Es seien k ein Körper und X eine zusammenhängende reguläre eigentliche Kurve über k. Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt $x\in X$ eine kanonische Abbildung

$\operatorname{res}_x\colon\Omega_{k(X)/k}\to k,$

die jeder meromorphen Differentialform ihr Residuum in x zuordnet.

Ist x ein k-rationaler Punkt und t eine lokale Uniformisierende, so kann die Residuenabbildung wie folgt explizit angegeben werden: Ist ω eine meromorphe Differentialform und $\omega=f\,\mathrm dt$ eine lokale Darstellung, und ist

$f=\sum_{k=-N}^\infty a_kt^k$

die Laurentreihe von f, so gilt

$\operatorname{res}_x\omega=a_{-1}.$

Insbesondere stimmt das algebraische Residuum im Fall $k=\mathbb C$ mit dem funktionentheoretischen überein.

Das Analogon des Residuensatzes ist richtig: Für jede meromorphe Differentialform ω ist die Summe der Residuen null:

$\sum_{x\in X}\operatorname{res}_x\omega=0.$

Quellen

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
• A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.
• John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4^e série, tome 1, n^o 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF

Eine Konstruktion der algebraischen Residuenabbildung.