Cauchy-Produktformel

Die Cauchy-Produktformel, auch Cauchy-Produkt oder Cauchy-Faltung, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy gestattet die Multiplikation und Division unendlicher Reihen.

Sind $(a_n) = \sum_{n=0}^\infty a_n$ und $(b_n) = \sum_{n=0}^\infty b_n$ zwei absolut konvergente Reihen, so ist deren Produkt

$(a_n) \cdot (b_n) = (c_n) = \sum_{n=0}^\infty c_n$, mit $c_n = \sum_{k=0}^n {a_{k} b_{n-k}}$

wiederum eine absolut konvergente Reihe.

Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der konvergenten Reihen (a_n) und (b_n) absolut konvergiert, damit das Cauchyprodukt (c_n) konvergiert (nicht notwendigerweise absolut) und mit $(a_n)\cdot (b_n)$ übereinstimmt.

Konvergieren die Reihen (a_n) und (b_n) nur bedingt, so kann es sein, dass das Cauchyprodukt (c_n) nicht konvergiert.

Beispiel

Es soll das Produkt $(c_n) = (a_n) \cdot (b_n)$ der beiden Reihen

$(a_n)=(b_n)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$

gebildet werden.

Es gilt

$c_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \cdot \frac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}}$

$=(-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{n} \cdot \frac1{\sqrt{\frac{k+1}{n}}} \cdot \frac1{\sqrt{1-\frac{k-1}{n}}}$

Die c_n konvergieren für $n\to\infty$ mit der Substitution $x = \tfrac{k}{n} \ \Rightarrow \ \mathrm{d}k = \mathrm{d}x \cdot n$ betragsmäßig gegen das Integral

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}}\, dx =\int_0^1 \frac{2\, dz}{\sqrt{1-z^2}}=2 \left[\arcsin z\right]_0^1=\pi>0$

Nach dem Trivialkriterium divergiert daher (c_n).

Wenn jedoch (a_n) und (b_n) beide bedingt konvergieren und das Cauchyprodukt (c_n) konvergiert, dann stimmt es nach einem Satz von Abel mit $(a_n) \cdot (b_n)$ überein.

Schreibt man diese Formel aus, so erhält man:

$(a_n) \cdot (b_n) = (a_0 b_0) + (a_0 b_1 + a_1 b_0) + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) + ... + (a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + ... + a_k b_{n-k} + ... + a_n b_0) + ...$

Bricht man diese Reihe bei einem gewissen Wert von n ab, so erhält man eine Näherung für das gesuchte Produkt.

Werden insbesondere Potenzreihen multipliziert, d.h., sind $(a_n) = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n {(x-x_0)}^n$ und $(b_n) = \sum_{n=0}^\infty \beta_n {(x-x_0)}^n$, so gilt für ihr Produkt $(c_n) = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n {\alpha_{k} \beta_{n-k}}\right)(x-x_0)^n$, womit die Produktreihe nach Potenzen von x geordnet werden kann.

Um dagegen die Reihe $(c_n) = \frac{(a_n)}{(b_n)}$ aufzufinden, bildet man $(c_n) \cdot (b_n) = (a_n)$für unbekannte c_n und ermittelt diese mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs.

Zahlenbeispiel

1/81 = 1/9 * 1/9 = 0,11111... * 0,11111... = 0,0 (1) * (1+1) * (1+1+1) * (1+1+1+1) * (1+1+1+1+1)...

0,11111... * 0,11111...

    0
     011111...
      011111...
       011111...
        011111...

   0,012345...
    = 0,0123456789(10)(11)(12)(13)...

1/81 liefert als Ergebnis somit alle fortlaufenden Zahlen. Diese ungewöhnliche Darstellung ist im Dezimalsystem allerdings so nicht darstellbar, da es nur 10 Ziffern (0-9) umfasst. Die (10) vergrößert die vorstehende 9 zu einer 10, sodass die 8 zu einer 9 aufgerundet wird.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4