Cauchy produkt

Cauchy produkt

Die Cauchy-Produktformel, auch Cauchy-Produkt oder Cauchy-Faltung, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy gestattet die Multiplikation und Division unendlicher Reihen.

Sind (a_n) = \sum_{n=0}^\infty a_n und (b_n) = \sum_{n=0}^\infty b_n zwei absolut konvergente Reihen, so ist deren Produkt

(a_n) \cdot (b_n) = (c_n) = \sum_{n=0}^\infty c_n, mit c_n = \sum_{k=0}^n {a_{k} b_{n-k}}

wiederum eine absolut konvergente Reihe.

Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der konvergenten Reihen (an) und (bn) absolut konvergiert, damit das Cauchyprodukt (cn) konvergiert (nicht notwendigerweise absolut) und mit (a_n)\cdot (b_n) übereinstimmt.

Konvergieren die Reihen (an) und (bn) nur bedingt, so kann es sein, dass das Cauchyprodukt (cn) nicht konvergiert.

Beispiel

Es soll das Produkt (c_n) = (a_n) \cdot (b_n) der beiden Reihen

(a_n)=(b_n)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}

gebildet werden.

Es gilt

c_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \cdot \frac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}}
 =(-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{n} \cdot \frac1{\sqrt{\frac{k+1}{n}}} \cdot \frac1{\sqrt{1-\frac{k-1}{n}}}

Die cn konvergieren für n\to\infty mit der Substitution x = \tfrac{k}{n} \ \Rightarrow \ \mathrm{d}k = \mathrm{d}x \cdot n betragsmäßig gegen das Integral

\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}}\, dx =\int_0^1 \frac{2\, dz}{\sqrt{1-z^2}}=2 \left[\arcsin z\right]_0^1=\pi>0

Nach Trivialkriterium divergiert daher (cn).

Wenn jedoch (an) und (bn) beide bedingt konvergieren und das Cauchyprodukt (cn) konvergiert, dann stimmt es nach einem Satz von Abel mit (a_n) \cdot (b_n) überein.

Schreibt man diese Formel aus, so erhält man:

(a_n) \cdot (b_n) = (a_0 b_0) + (a_0 b_1 + a_1 b_0) + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) + ... + (a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + ... + a_k b_{n-k} + ... + a_n b_0) + ...

Bricht man diese Reihe bei einem gewissen Wert von n ab, so erhält man eine Näherung für das gesuchte Produkt.

Werden insbesondere Potenzreihen multipliziert, d.h., sind (a_n) = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n {(x-x_0)}^n und (b_n) = \sum_{n=0}^\infty \beta_n {(x-x_0)}^n, so gilt für ihr Produkt (c_n) = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n {\alpha_{k} \beta_{n-k}}\right)(x-x_0)^n, womit die Produktreihe nach Potenzen von x geordnet werden kann.

Um dagegen die Reihe (c_n) = \frac{(a_n)}{(b_n)} aufzufinden, bildet man (c_n) \cdot (b_n) = (a_n)für unbekannte cn und ermittelt diese mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs.


Zahlenbeispiel

1/81 = 1/9 * 1/9 = 0,11111... * 0,11111... = 0,0 (1) * (1+1) * (1+1+1) * (1+1+1+1) * (1+1+1+1+1)...


0,11111... * 0,11111...

    0
     011111...
      011111...
       011111...
        011111...
   0,012345...
    = 0,0123456789(10)(11)(12)(13)...

1/81 liefert als Ergebnis somit alle fortlaufenden Zahlen. Diese ungewöhnliche Darstellung ist im Dezimalsystem allerdings so nicht darstellbar, da es nur 10 Zahlen (0-9) umfasst. Die (10) vergrößert die vorstehende 9 zu einer 10, sodass die 8 zu einer 9 aufgerundet wird.


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