Poisson-Gamma-Verteilung

Die Poisson-Gamma-Verteilung ist eine univariate Verteilung für diskrete Zufallsvariablen, die in der Bayesschen Statistik und in der Inferenztheorie eine wichtige Rolle spielt, da es sich um eine Mischverteilung handelt. Sie wird auch als Verallgemeinerung der Negativbinomialverteilung $\textstyle NBin\left(\alpha , \frac{\beta}{\beta + \nu} \right)$ auf reelle α gesehen. Sie wird üblicherweise von einer Poisson-Verteilung P(λ) mit zufälligem λ, welche wie eine Gammaverteilung verteilt ist, hergeleitet.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist

$P(X=x|a,b,\nu)=\left( \frac{b}{b+\nu}\right)^a \frac{1}{\Gamma(a)} \frac{\Gamma (a+x)}{x!} \left( \frac{\nu}{b+\nu} \right)^x$

wobei a>0, b>0.

Der Erwartungswert bestimmt sich zu

$E(X) = \nu \frac{a}{b}$

und die Varianz ist

$Var(X) = a \frac{\nu}{b} \left( 1+ \frac{\nu}{b}\right) = E(X) \left( 1+ \frac{\nu}{b}\right)$

sodass die Varianz immer größer als der Erwartungswert ist, im Gegensatz zur Poisson-Verteilung, bei der Erwartungswert und Varianz immer gleich sind.

Falls a ganzzahlig ist, dann ist $\textstyle X+a \sim NBin\left(a,\frac{b}{b+\nu}\right)$, wobei NBin die Negativbinomialverteilung ist. Aus diesem Grund wird die Poisson-Gamma-Verteilung als eine Verallgemeinerung der Negativbinomialverteilung auf reelle a gesehen.

Literatur

• Leonhard Held: Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes, unter Mitwirkung von Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2

Siehe auch

• Beta-Binomialverteilung

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta