Flüssigkeitspendel

Ein Wasserpendel, auch bekannt als schwingende Wassersäule, ist im Allgemeinen ein U-förmiges Rohr, in dem eine ausgelenkte Wassersäule schwingt.

U-Rohr mit ausgelenkter Wassersäule

Die rücktreibende Kraft eines Wasserpendels ist die Gewichtskraft

$F(t) = -m \cdot g$

der überstehenden Wassersäule. Dabei gilt:

m = 2yAρ	Masse der überstehenden Wassersäule
mges = Aρl	Masse der gesamten Wassersäule mit Länge l
A = πr2	Querschnittsfläche der Wassersäule
ρ	Dichte der Flüssigkeit
g	Fallbeschleunigung

Verlauf der Auslenkung auf die Amplitude y₀ normiert, Anfangsphase φ = 0 und x = ωt

Da die Wassersäule schwingt, verändert sich die Höhe der überstehenden Wassersäule in Abhängigkeit von der Zeit. Dadurch verändert sich auch deren Masse und Gewichtskraft. Zum Zeitpunkt t gilt dann:

$F(t) = -2 y(t) A \rho \cdot g$.

Mit dem 2. Newtonschen Gesetz, $F(t)=m_{\rm ges} \cdot \ddot y(t)$, erhält man die Differentialgleichung

$-2y(t) A \rho g = m_{\rm ges} \cdot \ddot y(t)$

bzw.

$\ddot y(t) + \frac{2 A \rho g}{m_{\rm ges}} \cdot y(t)\ =\ 0$.

Die Lösung der Differentialgleichung ist eine harmonische Schwingung, die z. B. durch

$y(t) = y_0 \sin(\omega t + \varphi)$

gelöst wird. Dabei entspricht y₀ der Amplitude, ω = 2πf der Kreisfrequenz und $\varphi$ die Phase der Schwingung. Der Einfachheit halber wird mit einer Phasenverschiebung von $\varphi = 0$ gerechnet, da der Anfangszeitpunkt der Schwingung frei gewählt werden kann.

Durch zweimaliges Ableiten und Einsetzen in die obige Gleichung ergibt sich:

$-\omega^2 y_0 \sin(\omega t) + \frac{2 A \rho g}{m_{\rm ges}} \cdot y_0 \sin(\omega t) = 0$ , woraus folgt, dass

$\omega ^2 = \frac{2 A \rho g}{m_{\rm ges}}$.

Dieses Ergebnis kann weiter vereinfacht werden, da m_ges = Aρl. Es folgt:

$\omega^2 = \frac{2g}{l}$ und somit ergibt sich die Kreisfrequenz zu $\omega = \sqrt{\frac{2g}{l}}$.

Für die Periodendauer der Schwingung gilt:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{ \sqrt{ \frac{2g}{l} } } = 2\pi \sqrt{ \frac{l}{2g} }$,

die Schwingungsdauer hängt also nur von der Länge der Wassersäule und der Gravitation ab.

Bei einer genaueren Behandlung sind Reibung (Strömungswiderstand) mit der Wand des Rohres und die innere Reibung der Flüssigkeit zu betrachten, die beide die Schwingung dämpfen.

Siehe auch: Pendel, Fadenpendel, Magnetisches Pendel, Federschwingung, Oszillator.