Gleichung ersten Grades

Die lineare Gleichung ist in der Mathematik ein einfacher, besonders häufig vorkommender Typ einer Bestimmungsgleichung. Eine Bestimmungsgleichung mit einer Unbekannten $x\,$ heißt linear, wenn sie auf folgende Form gebracht werden kann:

$a \cdot x = b$

Dabei stehen die Symbole $a\,$ und $b\,$ für konstante Zahlenwerte. Kennzeichnend ist für eine lineare Gleichung, dass die Unbekannte ausschließlich in der ersten Potenz steht, also nicht beispielsweise quadriert vorkommt (siehe quadratische Gleichung).

Der Wert der Unbekannten $x\,$, mit dem die Gleichung erfüllt ist, kann aus der linearen Gleichung leicht bestimmt werden, indem auf beiden Seiten durch $a\,$ geteilt wird. Es ergibt sich danach für die Lösung:

$x = \frac{b}{a}$

Allerdings geht dies nur, wenn $a\,$ ungleich Null ist. Ist dies nicht der Fall, gibt es entweder gar keine oder unendlich viele Lösungen.

Es gibt auch lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten und lineare Gleichungen, deren Unbekannte Vektoren oder andere mathematische Objekte sind.

Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten

Beispiel

Das folgende Beispiel zeigt, wie man eine einfache lineare Gleichung löst.

$7x - 9 = 4x + 15\,$

Zur Vereinfachung kann man zunächst auf beiden Seiten die Zahl 9 addieren.

$7x = 4x + 24\,$

Noch einfacher wird die Gleichung, wenn man auf beiden Seiten den Term (Rechenausdruck) $4x\,$ subtrahiert.

$3x = 24\,$

Dividiert man diese Gleichung auf beiden Seiten durch 3, so bleibt auf der linken Seite nur noch die Unbekannte $x\,$ übrig.

$x = 8\,$

Allgemeine lineare Gleichung

Allgemein im Bereich der reellen Zahlen lautet die lineare Gleichung:

$a \cdot x = b$ mit $a,b \in \mathbb{R}$

• Für $a \ne 0$ lässt sich die Lösung leicht angeben: $x = \frac{b}{a}$
• Gilt $a = 0\,$ und $b \ne 0$, so hat die Gleichung in $\mathbb{R}$ keine Lösung.
• Gilt $a = 0\,$ und $b = 0\,$, so kann man für die Unbekannte jede Zahl $x \in \mathbb{R}$ einsetzen.

Entsprechendes ist auch richtig, wenn man als Grundmenge der Gleichung statt $\mathbb{R}$ einen beliebigen Körper, zum Beispiel den Körper der komplexen Zahlen voraussetzt.

Vektor als Unbekannte

Hauptartikel: Lineares Gleichungssystem

Sucht man eine Lösung einer linearen Gleichung in einer höheren Dimension, so erhält man ein lineares Gleichungssystem:

$A \cdot \vec{x} = \vec{b}$

Hier ist A dann eine Matrix und x und b sind Vektoren. Da zu einer Matrix A nicht immer eine inverse Matrix A ^{− 1} existiert, lässt sich auch obiges Lösungsverfahren nicht anwenden. Deshalb stehen zur Lösung linearer Gleichungssysteme eine Vielzahl von Lösungsverfahren zur Verfügung.

Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten

Eine Gleichung, die mehrere Unbekannte enthält, ist linear, wenn sie in eine Form gebracht werden kann, in der die Unbekannten ausschließlich linear kombiniert sind. Eine lineare Gleichung mit n Unbekannten muss also – gegebenenfalls nach Umstellen – so aussehen:

$a_1 x_1 + a_2 x_2 +\;\cdots \; + a_n x_n \; =\; b$

Hierbei sind die Variablen $x_i\,$ die Unbekannten und die Variablen $a_i\,$ konstante Zahlen, die Koeffizienten der Gleichung. Auch $b\,$ ist eine Konstante. Die Konstanten sind meist reelle oder komplexe Zahlen. Hier ein Beispiel für eine lineare Gleichung mit vier Unbekannten:

$3{,}22\,x_1 + 2\, x_2 + x_3 - 5{,}2\, x_4 \; =\; 7{,}28$

Fasst man mehrere lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten zu einer Einheit zusammen, bekommt man ebenfalls ein lineares Gleichungssystem.

Siehe auch

• Lösen von Gleichungen