Allpassfilter

Ein Allpassfilter, auch nur Allpass genannt, ist ein elektrisches Filter, das im Idealfall für alle Frequenzen einen konstanten Betragsfrequenzgang aufweist, während die Phasenverschiebung von der Frequenz abhängt. Allpässe werden unter anderem in nachrichtentechnischen Systemen zur Signalentzerrung oder zur Erzeugung von Laufzeiten bzw. Totzeiten verwendet.

Allgemeines

Allpässe weisen eine frequenzabhängige Gruppenlaufzeit auf, welche zur frequenzabhängigen Signalverzögerung bzw. der Phasenentzerrung verwendet werden kann. Es können damit frequenzabhängige und meist unerwünschte Signalverzögerungen in Übertragungskanälen kompensiert werden. Da die Gruppenlaufzeit die negative Ableitung des Phasenganges ist, ist diese nicht konstant und hängt von der Frequenz ab. Mit Hilfe von Allpässen kann auch eine Impedanztransformation durchgeführt werden.

Weiter werden Allpässe zur Hilberttransformation eingesetzt, um aus einem reellwertigen Signal ein analytisches Signal zu erzeugen. Bei der Hilberttransformation wird das Spektrum eines Signals in einem bestimmten Frequenzband um ^π/₂ (90°) in der Phase gedreht. Jene Allpässe werden auch als „Hilbert-Transformator“ bezeichnet und werden, da sie in analogen elektrischen Schaltungen nur mit größerem Aufwand zu realisieren sind, bevorzugt im Bereich der digitalen Signalverarbeitung eingesetzt.

Allpässe können als passives Filter, als analoges aktives Filter oder im Rahmen der digitalen Signalverarbeitung als zeitdiskretes digitales Filter realisiert werden.

Allgemein weisen Allpässe folgende Beziehungen auf:

• Ein Allpass der Ordnung n hat n-Phasendrehungen entlang der Frequenzachse.
• Ein nicht minimalphasiges System kann in ein minimalphasiges Teilsystem und in einen Allpass aufgeteilt werden.

Pol- und Nullstellen

Die Übertragungsfunktion kontinuierlicher Allpässe, wie sie in Form analoger Schaltungen realisiert werden, haben in Paaren auftretende Null- und Polstellen im Pol-Nullstellen-Diagramm, die symmetrisch zur vertikalen jω-Achse in der s-Ebene liegen. Dabei liegen alle Nullstellen auf der rechten Halbebene (RHE), was den nicht minimalphasigen Phasengang bewirkt.

Bei zeitdiskreten Allpässen, angewendet im Bereich der digitalen Signalverarbeitung, liegen nach Anwendung der Z-Transformation alle Pole innerhalb und alle Nullstellen außerhalb des Einheitskreises in der komplexen Z-Ebene. Die Pol- und Nullstellen treten dabei paarweise gespiegelt am Einheitskreis auf.

Im Spezialfall reellwertiger Koeffizienten sind Pol- und Nullstellen entweder rein reell, oder paarweise komplex konjugiert. Für diskrete reelle Allpässe heißt das also: Ist z_0ν eine Nullstelle, dann ist $z^*_{0\nu}$ auch eine Nullstelle. Ist $z_{\infty\nu}$ eine Polstelle, dann ist $\frac{1}{z^*_{\infty\nu}}$ eine Nullstelle.

Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion H₁(s) eines zeitkontinulierlichen Allpasses 1. Ordnung bzw. H₂(s) eines Allpasses 2. Ordnung ist:

$H_1 \left(s\right) = \frac{1-\frac{s}{\omega_0}}{1+\frac{s}{\omega_0}}, \qquad H_2 \left(s\right) = \frac{1-\frac{2\xi}{\omega_0}\cdot s+\frac{s^2}{{\omega_0}^2}}{1+\frac{2\xi}{\omega_0}\cdot s+\frac{s^2}{{\omega_0}^2}}$

Höhere Ordnungen entstehen, indem weitere Paare von Pol-Nullstellen zur Übertragungsfunktion hinzufügt werden. Ein Allpass n-ter Ordnung ist gegeben durch:

$H_n \left(s\right) = \frac{\prod_{i=1}^n \left(1 - a_i s + b_i s^2 \right)}{\prod_{i=1}^n \left(1 + a_i s + b_i s^2 \right)} = e ^{j\varphi}$

mit den allgemeinen Koeffizienten a_i und b_i. Die im zweiten Ausdruck auftretende Phasenverschiebung φ ist eine Funktion der Kreisfrequenz ω mit s = j·ω mit folgendem Bezug:

$\varphi \left( \omega \right) = -2 \sum_{i=1}^n \operatorname{arctan} \frac{a_i \omega}{1 - b_i \omega^2}$

Da der Frequenzgang idealerweise konstant ist, macht die Festlegung einer 3-dB-Grenzfrequenz im Betragsfrequenzgang keinen Sinn. Allpässe werden über die Gruppenlaufzeit T_gr als Funktion der Kreisfrequenz ω charakterisiert. Als Grenzfrequenz wird dabei üblicherweise das Absinken der Gruppenlaufzeit auf das $1/\sqrt{2}$ im Bezug zu dem Grenzwert der Gruppenlaufzeit bei der Frequenz 0 Hz festgelegt.

Arten

Aktive analoge Implementierung

In unten stehender Abbildung ist unter anderem ein aktiver, analoger Allpass 1. Ordnung mit einem Operationsverstärker dargestellt. Seine Übertragungsfunktion (s = σ + j·ω) ist gegeben als:

$H(s) = \frac{ sRC - 1 }{ sRC + 1 }$

mit einem Pol bei ⁻¹/_RC und einer Nullstelle bei ¹/_RC. Der Phasengang als Funktion der Kreisfrequenz ω mit σ = 0 weist bei dieser Schaltung folgenden Verlauf auf:

$\angle H(j \omega) = \pi - 2 \arctan(\omega RC)$

Die Schaltung eines Allpasses 2. Ordnung stellt eine mögliche Realisierungform mit einem Operationsverstärker dar und weist als Unterschied ein geändertes Rückkopplungsnetzwerk auf.

• Aktive analoge Allpässe
• 

  1. Ordnung

• 

  2. Ordnung

Ein Vorteil der Realisierung mittels Operationsverstärkern besteht darin, dass in der Schaltung keine Spulen eingesetzt werden.

Passive analoge Implementierung

Passive Allpassfilter können auf verschiedene Arten realisiert werden. Beispielsweise kann die Realisierung in einer Gitterform (engl. Lattice) erfolgen oder als eine T-Schaltung. Der passive T-Allpass wurde unter anderem bei Festnetzanschlüssen zur Kompensation von Phasenverzerrungen zwischen Vermittlungsstelle und Endteilnehmeranschluss eingesetzt.

• Passive analoge Allpässe
• 

  T-Schaltung

• 

  Lattice-Schaltung bzw. Boucherot-Brücke

Zeitdiskrete Implementierung

Die diskrete Übertragungsfunktion H(z) für einen Allpassfilter 1. Ordnung mit einer komplex konjugierten Pol-Nullstelle bei a weist folgende Form auf:

$H(z) = \frac{z^{-1}-a^*}{1-az^{-1}}$

Literatur

• T. Deliyannis, Yichuang Sun, J. K. Fidler: Continuous-Time Active Filter Design. 1. Auflage. CRC Press, 1999, ISBN 0-84932573-0.
• Karl-Dirk Kammeyer, Kristian Kroschel: Digitale Signalverarbeitung. 6. Auflage. Teubner, 2006, ISBN 3-8351-0072-6 (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).

Weblinks

• Beispiel von Allpässen