- Homomorphie
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Ein Homomorphismus (aus dem Griechischen, "homós": gleich; "morphé": Form), ist eine strukturerhaltende Abbildung.
Inhaltsverzeichnis
Allgemeine mathematische Definition
Man kann den Homomorphismusbegriff sehr allgemein definieren, in der Kategorientheorie als Morphismus und in der universellen Algebra als Homomorphismus. Die beiden Begriffe unterscheiden sich in einigen Eigenschaften, sind also nicht austauschbar.
Für die bekanntesten algebraischen Strukturen wie Vektorraum, Gruppen, Ringe, Körper sind aber die folgenden Darstellungen einfacher.
Homomorphismen in einigen algebraischen Strukturen
Seien A und B zwei Strukturen, z. B. Gruppen, Vektorräume, Ringe, Körper usw.
Im folgenden bezeichne (A, * 1, * 2,...,e1,e2,...) eine Struktur mit einer Trägermenge A sowie Verknüpfungen * i auf A mit jeweiligen neutralen Elementen ei.
Beispiele sind die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung und dem neutralen Element 0 oder der Körper der reellen Zahlen mit der Addition und Multiplikation. Dann gilt folgendes:
Gruppenhomomorphismus
Eine Abbildung heißt Gruppenhomomorphismus zwischen den Gruppen und , wenn für alle gilt:
- .
Damit lässt sich für einen Gruppenhomomorphismus f leicht zeigen, dass
- ,
denn es gilt
- . Also ist das neutrale Element in B.
Für alle ist das Inverse zu f(a), d.h.
- ,
denn es gilt
- .
Siehe auch den Artikel Gruppenhomomorphismus.
Ringhomomorphismus
Es seien und Ringe mit Einselement und eine Abbildung. f heißt Ringhomomorphismus genau dann, wenn
- für alle (d.h. f ist ein Gruppenhomomorphismus von nach ),
- für alle und
- .
Wenn x invertierbar ist, dann ist .
Ist ein Ringhomomorphismus, so ist der Kern von f
ein Ideal in R.
f ist genau dann injektiv, wenn der Kern trivial ist, d. h. nur die Null enthält.
Wenn R ein Körper ist, dann sind {0} und R die einzigen Ideale in R, und damit ist ein Homomorphismus immer injektiv, sofern .
Körperhomomorphismus
Ein Ringhomomorphismus zwischen zwei Körpern wird auch Körperhomomorphismus genannt.
K-Homomorphismus
Sind L / K und L' / K zwei Körpererweiterungen und ist der Körperhomomorphismus eine Fortsetzung der Identität auf K, so nennt man σ einen K-Homomorphismus.
Homomorphismus zwischen Vektorräumen
Homomorphismen von K-Vektorräumen, also Räumen die für die Multiplikation einen Körper K "heranziehen" müssen, sind besser bekannt als lineare Abbildungen. Sie bilden die Grundlage der linearen Algebra.
Weitere Begriffe
universelle Algebra
Ein Homomorphismus f heißt:
- Epimorphismus, wenn f surjektiv ist.
- Monomorphismus, wenn f injektiv ist.
- Isomorphismus, wenn f bijektiv.
- Endomorphismus auf A, wenn (f bildet A in sich selbst ab).
- Automorphismus auf A, wenn (Endomorphismus) und f bijektiv (Isomorphismus) ist.
Kategorientheorie
Ein Homomorphismus f heißt:
- Retraktion, wenn es einen Homomorphismus g gibt, so dass ist.
- Schnitt, wenn es einen Homomorphismus g gibt, so dass ist.
- Epimorphismus, wenn f rechtskürzbar ist.
- Monomorphismus, wenn f linkskürzbar ist.
- Bimorphismus, wenn f ein Epimorphismus und Monomorphismus ist.
- Isomorphismus, wenn f Retraktion und Schnitt ist.
- Endomorphismus auf A, wenn f von A nach A abbildet.
- Automorphismus auf A, wenn ein Isomorphismus ist.
Weblinks
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