Amplitudengang

Der Frequenzgang beschreibt das Verhalten eines linearen zeitinvarianten Systems in Abhängigkeit von der Frequenz; etwa bei einem Lautsprecher oder einem Filter in der Analogtechnik. Er ist eine komplexe Funktion der Frequenz.

Bode-Diagramm PT1-Gliedes

Zur Ermittlung des Frequenzgangs wird das System mit einer sinusförmigen Eingangsgröße und variabler Frequenz angeregt. Die Ausgangsgröße des Systems ist ebenfalls wieder sinusförmig mit gleicher Kreisfrequenz, jedoch mit einer anderen Amplitude und einer Phasenverschiebung gegenüber dem Eingangssignal. Das Ergebnis dieses Versuchs wird über der Frequenz für das jeweilige Amplitudenverhältnis und die jeweilige Phasenlage aufgetragen. Sie werden als Amplitudengang (Betragsfrequenzgang) bzw. als Phasengang (Phasenfrequenzgang) bezeichnet. Die kombinierte Darstellung ist das Bode-Diagramm. Wird der Frequenzgang durch Realteil und Imaginärteil über der Frequenz als Laufvariable dargestellt, entsteht die Ortskurve.

Experimentelle Ermittlung

Frequenzantwort eines Tiefpasses

Ein LZI-System mit einem harmonischen Eingangssignal $x(t)=\hat x\sin(\omega t + \phi_x)\;$ hat wiederum ein harmonisches Ausgangssignal. Auf Grund der Linearität wird die Frequenz $\omega\;$ nicht beeinflusst. Lediglich die Amplitude $\hat x\;$ und die Phase $\phi_x\;$ werden verändert und das Ausgangssignal ist $y(t)=\hat y(\omega) \sin(\omega t+\phi_y(\omega))\;$. Das Verhältnis

$A(\omega)=\frac{\hat y(\omega)}{\hat x}\;$

ist der Amplitudengang. Der Phasengang ist die Phasendifferenz

$\phi(\omega)=\phi_y(\omega)-\phi_x\;$

Amplituden- und Phasengang eines PT1-Gliedes

mit $\phi(\omega)=\Delta t(\omega)\cdot \omega$ wobei $\Delta t\;$ die gemessene Zeitverschiebung zwischen Ein- und Ausgangssignal der Frequenz ω ist, also $y(t+\Delta t) = \frac{\hat y(w)}{\hat x} x(t)$. Die Zeitverschiebung kann unter anderem durch Kreuzkorrelation

$R_{xy}(t) = \lim_{T_F \to \infty} \frac{1}{T_F}\int_{-T_F/2}^{T_F/2} x(\tau) \cdot y(\tau + t) \,\mathrm d \tau\;$

bestimmt werden. Die Zeit $t_{\mathrm{max}}\;$, bei der eine Spitze in $R_{xy}(t)\;$ auftritt, ist die Zeitverschiebung zwischen Ein- und Ausgangssignal.

Die Bestimmung des Frequenzganges erfolgt in der Praxis meistens mit Wobbelgeneratoren.

Beispiel

Die Differenzialgleichung des PT1-Gliedes ist

$T \dot y(t) + y(t)= x(t)\;$

Mit dem Eingangssignal $x(t) = \hat x e^{i \omega t}$ und dem Ausgangssignal $y(t)=\hat y(\omega) e^{i \omega t}$ in komplexer Darstellung erhält man durch einsetzen in die DGL

$H(\omega) = \frac{y(t)}{x(t)}=\frac{1}{1 + i\omega T}$

den Frequenzgang. Der mit dem Realteil

$\operatorname{Re} H(\omega) = \frac{1}{1 + (\omega T)^2}$

und dem Imaginärteil

$\operatorname{Im} H(\omega) = -\frac{ \omega T}{1 + (\omega T)^2}$

des Frequenzgangs gebildete Amplitudengang ist

$A(\omega) = \sqrt{(\operatorname{Re} H(\omega))^2+(\operatorname{Im} H(\omega))^2} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega T)^2}}$

und der Phasengang

$\phi(\omega) = \arctan\left(\frac{\operatorname{Im} H(\omega)}{\operatorname{Re} H(\omega)}\right) = -\arctan(\omega T)\;$.

In der oberen Abbildung sind beide für T=0.1 s mit den gemessenen Werten dargestellt.

Allgemeine Herleitung

Lineare, zeitinvariante Systeme werden durch die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung

$y^{(n)} + \ldots + a_{1}y^{(1)} + a_{0}y = b_{m}x^{(m)} + \ldots + b_{1}x^{(1)} + b_{0}x$

beschrieben. Die Anwendung der Fourier-Transformation auf die DGL ergibt den Frequenzgang

$H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{b_{m}(i\omega)^{m} + \ldots + b_1(i\omega) + b_0}{(i\omega)^{n} + a_{n-1}(i\omega)^{n-1} + \ldots + a_1(i\omega) + a_0}$.

Die Anwendung der Fourier-Transformation ist gleich der Anregung des Systems mit einem kontinuierlichen Frequenzspektrum.

Darstellungen des Frequenzgangs:

• durch Real- und Imaginärteil

$H(\omega)=\operatorname{Re} H(\omega) + i\operatorname{Im} H(\omega)$

• durch Betrag und Phase

$H(\omega)=\left|H(\omega)\right|e^{i\phi(\omega)}$

mit Betrag

$\left|H(\omega)\right| = \sqrt{(\operatorname{Re} H(\omega))^2 + (\operatorname{Im} H(\omega))^2}$

und Phase

$\phi(\omega) = \arctan\left(\frac{\operatorname{Im} H(\omega)}{\operatorname{Re} H(\omega)}\right)$

Die Fourier-Rücktransformierte des Frequenzganges ist die Gewichtsfunktion oder Impulsantwort:

$g(t) = \int_{-\infty}^\infty H(\omega) e^{i\omega t} \,d\omega$.

Literatur

• Heinz Unbehauen: Regelungstechnik I, Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, 1997, ISBN 3-528-83332-7

Weblinks

• Frequenzgang eines Filters (EQ) mit 6 dB pro Oktave unter der Lupe - pdf