Bode-Diagramm

Das Bode-Diagramm ist ein spezieller Funktionsgraph und besteht aus einem Graph für den Betrag (Amplitudenverstärkung) und einem für das Argument (Phasenverschiebung) einer komplexen Übertragungsfunktion. Diese Art der Darstellung ist nach Hendrik Wade Bode benannt, welcher diese Diagramme bei seinen Arbeiten in den Bell Laboratories in den 1930er Jahren benutzte. ^[1][2]

Beispiel eines Bode-Diagramms

Bode-Diagramme finden ihre Anwendung bei der Darstellung linearer zeitinvarianter Systeme im Bereich der Elektronik/Elektrotechnik, Regelungstechnik und Mechatronik sowie in der Impedanzspektroskopie.

Ein Bode-Diagramm beschreibt die stationäre Reaktion an einem Ausgang eines Systems auf eine harmonische Anregung („Sinusschwingung“) an einem Eingang des Systems. Zur vollständigen Beschreibung eines LZI-Systems mit n Eingängen und m Ausgängen benötigt man also n mal m Diagramme.

Einordnung

Das Bode-Diagramm dient der Darstellung des Übertragungsverhaltens eines dynamischen Systems, auch Frequenzantwort oder Frequenzgang genannt. Andere Diagrammformen zur Beschreibung dynamischer Systeme, wie z. B. das Nyquist-Diagramm (Frequenzgang-Ortskurve) oder das Pol-Nullstellen-Diagramm, dienen dagegen anderen Zwecken, die beiden genannten etwa der Stabilitätsbetrachtung. Das Bode-Diagramm wird, wie auch die anderen Diagramme, aus mathematischen Systembeschreibungen durch Differentialgleichungen hergeleitet und berechnet.

Charakteristische Eigenschaften

• Auf den x-Achsen (Abszisse) wird die Frequenz resp. Kreisfrequenz logarithmisch dargestellt. Dadurch ist auf einen Blick das Verhalten über einen großen Frequenzbereich ersichtlich.
• Auf der y-Achse (Ordinate) des ersten Graphen wird die Verstärkung der Amplitude, also der komplexe Betrag der Übertragungsfunktion in Dezibel – und damit ebenfalls logarithmisch – dargestellt. Dieser Graph heißt Amplitudengang.
• Auf der y-Achse des zweiten Graphen wird die Phasenverschiebung, also das komplexe Argument der Übertragungsfunktion linear aufgetragen. Dieser Graph heißt Phasengang.

Amplituden- und Phasengang werden übereinander aufgetragen, sodass Verstärkung und Phase einer Frequenz vertikal übereinander stehen.

Da die Verstärkung in Dezibel aufgetragen wird, haben Bodediagramme den Vorteil, dass komplexe Bodediagramme aus (additiver) Überlagerung von einfachen Teildiagrammen erstellt werden können. Dies entspricht einer Reihenschaltung von Übertragungsgliedern. Hierzu wird die komplexe Funktion durch Faktorisieren in Teilübertragungsfunktionen erster und zweiter Ordnung zerlegt. Durch das logarithmische Auftragen der Verstärkung wird aus der Multiplikation der Teilübertragungsfunktionen die Addition ihrer Amplitudengänge in Dezibel. Die Phasengänge überlagern sich auch ohne logarithmische Skalierung additiv.

Übertragungsfunktion	Bezeichnung	Amplitudengang	Phasengang
K	P-Glied	$20 \cdot \log{|K|}$	$0 \text{ falls } K \geq 0, \pi \text{ falls } K < 0$
$\frac{s}{\omega_0}$	D-Glied	+20 dB/Dekade, 0 dB bei ω0	konstant bei $+\frac{\pi}{2}$
$-\frac{s}{\omega_0}$		+20 dB/Dekade, 0 dB bei ω0	konstant bei $-\frac{\pi}{2}$
$\frac{\omega_0}{s}$	I-Glied	−20 dB/Dekade, 0 dB bei ω0	konstant bei $-\frac{\pi}{2}$
$-\frac{\omega_0}{s}$		−20 dB/Dekade, 0 dB bei ω0	konstant bei $+\frac{\pi}{2}$
$1 + \frac{s}{\omega_0}$	PD-Glied	Knick bei ω0, dann +20 dB/Dekade	von 0 auf $+\frac{\pi}{2}$ über zwei Dekaden, $\frac{\pi}{4}$ bei w0
$\frac{1}{1 + \frac{s}{\omega_0}}$	PT1-Glied	Knick bei ω0, dann −20 dB/Dekade	von 0 auf $-\frac{\pi}{2}$ über zwei Dekaden, $-\frac{\pi}{4}$ bei w0
$\frac{1}{1 + 2d\frac{s}{\omega_0} + \frac{s^2}{\omega_0^2}}$	PT2-Glied	Knick bei ω0, dann −40 dB/Dekade	von 0 auf − π über zwei Dekaden mit einer Stauchung je nach d

Die Aussage von 0 auf x in 2 Dekaden gilt nur näherungsweise. Die Aussage ist jedoch oft genau genug. Am Beispiel eines PT₁-Systems:

$F(s) = \frac{1}{\frac{s}{\omega_0}+1}$

$\phi (0{,}1 \cdot \omega_0) = -\arctan 0{,}1 = 5{,}75^\circ$

$\phi (10 \cdot \omega_0 ) = -\arctan 10 = 84{,}3^\circ$

Veranschaulichung der Vorteile einer logarithmischen Darstellung

Beispiel eines Amplitudenverlaufs eines Tiefpasses

Ein einfacher Tiefpass, zum Beispiel ein RC-Glied, bildet ein sog. PT₁-System.

$F(s) = K \frac{1}{1 + T_1 s}$

K ergibt sich hier aus dem Verhältnis Ausgangsgröße zu Eingangsgröße bei kleiner Frequenz. Wird die Eckfrequenz, bzw Grenzfrequenz f_E erreicht, ist der Realteil des Nenners gleich dessen Imaginärteil. Dadurch ergibt sich an diesem Punkt eine Phasenverschiebung von $-\frac{\pi}{4}$ und eine Verstärkung von $-3\,\mathrm{dB} = \frac{1}{\sqrt 2} \approx 0{,}71$.

Die formelmäßig bestimmten Werte der Eckfrequenz lassen sich aus dem linear eingeteilten Diagramm noch relativ leicht heraus lesen. Jedoch spätestens bei komplexeren Systemen ist es sinnvoller im doppelt logarithmischen Bode-Diagramm zu arbeiten.

Im Bode-Diagramm kann der Funktionsverlauf auch idealisiert mit Geradenstücken dargestellt werden. Hier im Beispiel ist die idealisierte Kurve um +3 dB angehoben, um besser unterscheidbar zu sein. Am Schnittpunkt der horizontalen mit der abfallenden Gerade liegt die Eckfrequenz. Die reale Funktion ist hier bereits um −3 dB abgefallen. Wenn das System proportionales Verhalten aufweist, kann die Verstärkung, hier K = 0 dB = 1, an der Y-Achse (s sehr klein) abgelesen werden.

Anhand der Steigung und dem Phasenverlauf kann man ein System identifizieren. Bei einem PT₁-System ist oberhalb f_E die Steigung − 1:1. Eine Verdopplung der Frequenz führt also zur Halbierung (−6 dB) der Amplitude, entsprechend die Verzehnfachung der Frequenz verringert die Verstärkung auf ein Zehntel, also −20 dB. Die Phase bei f_E ist −45° und für $f \rightarrow \infty$ ist sie −90°.

Sind zwei PT₁-Systeme in Reihe geschaltet, so ergibt sich ein PT₂-System mit einer Dämpfung D > 1. Oberhalb der ersten Eckfrequenz ist die Steigung −1:1, nach der zweiten Eckfrequenz −2:1 (siehe oberstes Bode-Diagramm mit Phase). Liegen die beiden Eckfrequenzen weit genug auseinander, ist die Phase bei der Eckfrequenz −45° und bei der zweiten −135°.

Beispiel eines Amplitudenverlaufs eines Tiefpasses

Beispiel eines Phasengangs eines Tiefpasses

Ein schwingungsfähiges PT_2S-System (zum Beispiel RLC-Schwingkreis) lässt sich mit einem komplexen Pol oder als Polynom zweiter Ordnung darstellen. Oberhalb der Eckfrequenz ist die Steigung −2:1. Die Phase beträgt in der Eckfrequenz −90° und strebt im unendlichen gegen −180°. Es tritt eine Resonanzüberhöhung in Abhängigkeit von D auf.

$F(s) = K \frac{1}{1 + \frac{2 D s}{\omega_0}+ \frac{s^2}{{\omega_0}^2} }$

Bei Integratoren, I-Systeme genannt, existiert für kleine Frequenzen kein horizontaler Geradenabschnitt. Es geht sofort mit einer Steigung −1:1 los.

$F(s) = \frac{1}{T_I \cdot s}$

Entsprechend bei einen Differenzierer, D-System genannt, ist die Steigung sofort +1:1.

$F(s) = T_D \cdot s$

Für ω₀ = 1s ^{− 1} kann die Integrations- beziehungsweise Differentiationszeitkonstante abgelesen werden. Diese kann auch als Verstärkung betrachtet werden (Systeme haben grundsätzlich nur P-, I- oder D-Verhalten).

Siehe auch

• DIN-A4-Druckvorlage als PDF und SVG

Weblinks

• Bode Diagrams (engl.)

Einzelnachweise

1. ↑ Van Valkenburg: In memoriam: Hendrik W. Bode (1905-1982). In: IEEE Transactions on Automatic Control. AC-29, Nummer 3, 1984, Seiten 193–194.
2. ↑ Hendrik W. Bode: Network analysis and feedback amplifier design, Van Nostrand, New York, 1945