PT1-Glied

PT₁-Glied im Strukturbild

Als PT₁-Glied bezeichnet man ein LZI-Übertragungsglied in der Regelungstechnik, welches ein proportionales Übertragungsverhalten mit Verzögerung 1. Ordnung aufweist. Gebräuchliche Beispiele sind in der Elektrotechnik der Tiefpass und im Maschinenbau das Feder-Dämpfer-System.

Die zugehörige Funktionalbeziehung im Zeitbereich ist die Differentialgleichung

$T \cdot \dot{y}(t) + y(t) = K \cdot u(t)$,

so dass die komplexe Übertragungsfunktion im Bildbereich die Form

$G(s) = \frac{K}{1 + T \cdot s}$

hat. Hierbei bezeichnet K, K > 0, die Übertragungskonstante bzw. den Verstärkungsfaktor und T , T > 0, die Zeitkonstante.

Bodediagramm

Beim PT₁-Glied ist $G(j\omega) = \frac{K}{1 + j\omega T}$. Daher gilt für den Amplituden- und Phasengang im Bodediagramm:

$|G(j\omega)| = \frac{K}{\sqrt{1 + \omega^2 T^2}}$

φ(ω) = − arctan(ωT)

Amplitudengang

Bezeichnet $\omega_0 = \frac{1}{T}$ die Knick- bzw. Eckfrequenz, so lässt sich der Amplitudengang grob in zwei Bereiche einteilen:

$G(j\omega) = \begin{cases} K, & \mbox{wenn } \omega \ll \omega_0 \\ \frac{K}{j\frac{\omega}{\omega_0}}, & \mbox{wenn } \omega \gg \omega_0 \end{cases}$

bzw.

$|G|_{\mathrm{dB}} = \begin{cases} 20 \log K, & \mbox{wenn } \omega \ll \omega_0 \\ 20 \log K - 20 \log \frac{\omega}{\omega_0}, & \mbox{wenn } \omega \gg \omega_0 \end{cases}$

Für Frequenzen unterhalb der Eckfrequenz liegt die Betragskennlinie des PT₁-Gliedes parallel zur 0-dB-Linie im Abstand von K_dB und für große Frequenzen fällt sie mit 20 dB/Dekade. Bei der Knickfrequenz ω = ω₀ schneiden sich die beiden Asymptoten. Der tatsächliche Wert des Amplitudenganges weicht dort um −3 dB von der asymptotischen Näherung ab. Bei ω = 0,5 ω₀ bzw. ω = 2 ω₀ beträgt die Abweichung nur noch −1 dB.

Die Eckfrequenz berechnet sich aus der Polstelle der Übertragungsfunktion, also der Nullstelle des Nenners 1 + Ts. Die Polstelle ist $- \frac{1}{T}$ und heißt Eigenwert, dessen Betrag die Eckfrequenz ω₀ beschreibt.

Phasengang

Die Phasenverschiebung des PT₁-Gliedes beträgt bei kleinen Frequenzen 0°, bei großen Frequenzen −90° und bei der Knickfrequenz ω₀ −45°.

Für die asymptotische Näherung zeichnet man eine Gerade, die eine Dekade vor der Knickfrequenz bei 0° beginnt und eine Dekade nach der Knickfrequenz bei −90° endet.

Bodediagramm eines PT₁-Gliedes (K = 2, T = 1)

Sprungantwort

Die Sprungantwort des PT₁-Gliedes wird beschrieben durch

$a(t) = K (1 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{T}})$

und hat den Verlauf einer e-Funktion. Der Verlauf nähert sich dem Endwert K an. Nach der Zeit t = T beträgt der Wert 0,63 K und nach t = 3 T bereits 0,95 K, es bleibt theoretisch aber immer eine minimale Abweichung vom Endwert erhalten. Die Tangente im Ursprung schneidet den Wert des Verstärkungsfaktors K nach der Zeit T. Der Betrag der Zeitkonstanten T bestimmt die Schnelligkeit des Gliedes.

Sprungantwort eines PT₁-Gliedes (K = 2, T = 1)

Ortskurve

Die Ortskurve ($0 \leq \omega \leq \infty$) des PT₁-Gliedes verläuft vom Punkt K auf der positiven reellen Achse durch den vierten Quadranten für $\omega \to \infty$ in den Punkt 0.

$F(\mathrm j\omega)=\frac {K} {1 + \mathrm j\omega T_1}$

Die Komplexe Zahl im Nenner will man wegbekommen:

$F(\mathrm j\omega)=\frac {K} {1 + \mathrm j\omega T_1} \cdot \frac {1 - \mathrm j\omega T_1}{1 - \mathrm j\omega T_1}=\frac {K-\mathrm j\omega T_1 K}{1+\omega^2 T_1^2}$

dann erhält man Real- und Imaginärteil:

$\mathrm {Re}\left\{F(\mathrm j\omega)\right\}=\frac {K}{1+\omega^2 T_1^2}$

$\mathrm {Im}\left\{F(\mathrm j\omega)\right\}=\frac {-\omega T_1 K}{1+\omega^2 T_1^2}$

Damit errechnet sich Betrag und Phase

$\left |F\left (\mathrm j\omega \right) \right |=\frac {K}{\sqrt {1+\omega^2 T_1^2}}$

$\varphi(\omega)=\varphi\left(F(\mathrm j\omega)\right)=\arctan(-\omega T_1)=-\arctan(\omega T_1)$

Die Extremwerte ergeben sich folgendermaßen:

$\mathrm {Re}\left\{F(\mathrm j\omega \to 0)\right\}=K$

$\mathrm {Im}\left\{F(\mathrm j\omega \to 0)\right\}=0$

$\mathrm {Re}\left\{F(\mathrm j\omega \to \infty)\right\}=0$

$\mathrm{Im}\left\{F(\mathrm j\omega \to \infty)\right\}=0$

$|F(\mathrm j\omega \to 0)| = K$

$\varphi(\mathrm j\omega \to 0) = 0^\circ$

$|F(\mathrm j\omega \to \infty)| = 0$

$\varphi(\mathrm j\omega \to \infty) = -90^\circ$

Ortskurve eines PT₁-Gliedes (T = 1, K = 2)

Zeitdiskretes PT1-Glied

Das Verhalten eines PT1-Gliedes lässt sich mit der folgenden Formel zeitdiskret berechnen. Sie ist Grundlage zur Nachbildung dieses Reglertypes in der digitalen Signalverarbeitung.

Aus obiger Differentialgleichung folgt mit Δt als der Schrittweite der Abtastung die Differenzengleichung:

$T \cdot \frac {y_{n}-y_{n-1}}{\Delta t} + y_{n} = K u_{n}$

Daraus erhält man

$\left(\frac T {\Delta t}+1\right ) \cdot y_{n} - \frac T {\Delta t} \cdot y_{n-1} = K u_{n}$

Auflösen nach y_n ergibt:

$y_{n} = \frac {1}{\frac T {\Delta t}+1} \left [ K u_{n} + \frac T {\Delta t} \cdot y_{n-1} \right ]$

Mit

$T^{*} = \frac {1}{\frac T {\Delta t}+1}$

erhält man eine optimierte Formel mit nur zwei Multiplikationen:

$y_{n} = T^{*} \cdot ( K u_{n} -y_{n-1} ) + y_{n-1}$

Siehe auch

• Regler
• P-Glied
• I-Glied
• D-Glied
• PT2-Glied
• PID-Regler
• Totzeit-Glied