- Jordan-Kurve
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Jordan-Kurven (bzw. einfache Kurven) sind nach Camille Jordan benannte mathematische Kurven, die als eine homöomorphe Einbettung des Kreises S1 oder des Intervalls I1 = [0;1] in einen topologischen Raum definiert sind. (Die homöomorphe Einbettung von I1 nennt man offene Jordan-Kurve. Die Einbettung von S1 wird geschlossene Jordan-Kurve genannt.)
Anschaulich heißt das, dass es sich um Kurven handelt, die stetig und schnittpunktfrei sind und einen Anfangs- und einen Endpunkt besitzen. Der Begriff der Jordan-Kurve wird auch zur Definition planarer Graphen verwendet.
Beispiele
Der Einheitskreis mit der Parametrisierung
- φ(t) = (cos(t),sin(t)),
ist eine geschlossene Jordankurve.
Der Weg
- φ(t) = (cos(t),sin(t)) mit
liefert auch den Einheitskreis, ist aber in dieser Parametrisierung keine Jordankurve, da z. B.
- φ(1) = φ(2π + 1).
Das Einheitsquadrat ist eine Jordankurve, die aber mit keiner Parametrisierung glatt ist.
Die Strecke
- φ(t) = (t,0) mit
ist eine (offene) Jordankurve.
Keine Parametrisierung der Ziffern 6 oder 8 in der Ebene ist eine Jordankurve.
Siehe auch:
Literatur
- Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 2. 7. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 338.
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 5. durchgesehene Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 361.
Weblinks
- Jordan Curve in der Encyclopaedia of Mathematics
- Eric W. Weisstein: Jordan Curve. In: MathWorld. (englisch)
- φ(t) = (cos(t),sin(t)),
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