Jordan-Maß

Das Jordan-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie. Dieser geht auf Marie Ennemond Camille Jordan zurück, welcher ihn im Jahr 1890 aufbauend auf Arbeiten von Giuseppe Peano entwickelte. Mit dem Jordan-Maß kann man beschränkten Teilmengen des $\R^n$ einen Inhalt zuordnen und erhält einen Integralbegriff, der dem riemannschen Integralbegriff analog ist.

Definition

Eine Menge $A\subset \R^2$ (mit blauem Rand) wird einmal durch Teilmengen (wie die Menge mit grünem Rand) und einmal durch Obermengen (wie die Menge mit lila Rand) aus $\mathcal J^2$ angenähert.

Seien

$J^n := \{ ]a,b[ : a,b \in \R^n , a \leq b \}$

und

$\mathcal{J}^n := \left\{ \bigcup_{k=1}^m I_k: I_1, \ldots , I_m \in J^n,\ \text{disjunkt}\right\}$

Sei μⁿ den Würfelinhalt, welcher für alle $a = (a_1, \ldots , a_n), b = (b_1, \ldots , b_n) \in \R^n$ mit $a\leq b$ durch

$\mu^n\left(]a,b[\right) = \prod_{j=1}^n(b_j - a_j)$

und $\mu^n (\emptyset) := 0$ definiert ist.

Der innere Inhalt einer beschränkten Menge A sei

$\underline{i^n}(A):= \sup\{\mu^n(M) : M \in \mathcal{J}^n, M \subset A\},$

ihr äußerer Inhalt sei

$\overline{i^n}(A):=\inf\{\mu^n(N): N \in \mathcal{J}^n, N \supset A\}.$

Eine Menge $A \subset \R^n$ heißt Jordan-messbar, wenn A beschränkt ist und $\overline{i^n}(A) = \underline{i^n}(A)$.

Das Jordan-Maß einer Jordan-messbaren Menge A ist durch $i^n(A):=\overline{i^n}(A) = \underline{i^n}(A)$ gegeben.

Gilt $\overline{i^n}(A)=0$ für ein beschränktes $A\subset \R^n$, so ist A Jordan-messbar und wird Jordan-Nullmenge genannt.

Eigenschaften

1. Das Jordan-Maß ist ein Inhalt und nicht σ-additiv, d.h. abzählbare Vereinigungen von Jordan-messbaren Mengen müssen nicht notwendig Jordan-messbar sein. (Siehe auch Beispiel 2.) Daher ist das Jordan-Maß kein Maß im Sinne der Maßtheorie.
2. Ist $A \subset \R^n$ Jordan-messbar, so ist A auch Lebesgue-messbar, und es gilt λⁿ(A) = iⁿ(A). Dabei bezeichnet λⁿ(A) das Lebesgue-Maß von A.
3. Eine Menge $A \subset \R^n$ ist genau dann Jordan-messbar, wenn A beschränkt ist und der Rand von A eine Jordan-Nullmenge ist.
4. Eine beschränkte Menge $A \subset \R^n$ ist genau dann Jordan-messbar, wenn $\lambda^n(A^\circ) = \lambda^n(\overline{A})$ ist. Dann gilt auch $i^n(A) = \lambda^n(A^\circ) = \lambda^n(\overline{A})$.
5. Eine kompakte Menge $A \subset \R^n$ ist genau dann eine Lebesgue-Nullmenge, wenn A eine Jordan-Nullmenge ist.

Beispiele

1. Der Einheitskreis im $\R^n$ ist Jordan-messbar, da er beschränkt und sein Rand eine Jordan-Nullmenge ist.
2. Die Menge $A=[0,1]\cap \Q$ ist nicht Jordan-messbar. Denn für jede Menge $A \supset M \in \mathcal{J}^1$ gilt $M = \emptyset$ und für jede Menge $A \subset N \in \mathcal{J}^1$ gilt $[0,1] \subset N,$ woraus $0 = \underline{i^1}(A) < \overline{i^1}(A) = 1$ folgt. Für jedes $q\in A$ gilt λ¹({q}) = i¹({q}) = 0. Aufgrund der σ-Additivität des Lebesgue-Maßes gilt $\textstyle \lambda^1(A) = \sum_{q\in A}\lambda^1(\{q\})=\sum_{q\in A}0=0$. A ist also Lebesgue-Nullmenge. Das Jordan-Maß ist, wie dieses Beispiel zeigt, nicht σ-additiv.

Literatur

• Wolfgang Walter: Analysis. 2. Band. 2. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1991, ISBN 3-540-54566-2, S. 224–226 (Grundwissen Mathematik 4).

Weblinks

• Jordaninhalt und quadrierbare Mengen
• Quadrierbare Mengen im MitschriebWiki (PDF-Datei; 188 kB)