Konvektive Ableitung

Konvektive Ableitung

Die Substantielle Ableitung (auch Konvektive Ableitung) ist ein primär mathematisches Konstrukt, welches die gesamte Änderung einer Größe beschreibt. Das Wort substantiell deutet darauf hin, dass man an eine "Substanz"/Masse/Fluid "gebunden" ist.

Allgemein

Die substantielle Ableitung einer Größe \Phi(\vec{x},t) wird in der Literatur oft mit

 \frac{D\Phi}{Dt} bezeichnet.

Da sie direkt aus dem totalen Differential herrührt, wird sie auch oft mit

 \frac{d\Phi}{dt} bezeichnet.

Beispiel

Im folgenden wird ein Beispiel der substantiellen Ableitung aus der Fluiddynamik skizziert.

Das totale Differential einer zeitabhängigen und 3-dimensional ortsabhängigen skalaren Größe \Phi(\vec{x},t) lautet für ein Kartesisches Koordinatensystem:

d\Phi(\vec{x},t)=\frac{\partial\Phi}{\partial t}dt+\frac{\partial\Phi}{\partial x}dx+\frac{\partial\Phi}{\partial y}dy+\frac{\partial\Phi}{\partial z}dz

Dies kann man umschreiben zu:

d\Phi(\vec{x},t)=\frac{\partial\Phi}{\partial t}dt+\frac{\partial\Phi}{\partial x}udt+\frac{\partial\Phi}{\partial y}vdt+\frac{\partial\Phi}{\partial z}wdt

wobei:

u : Geschwindigkeitskomponente der Strömung in x-Richtung
v : Geschwindigkeitskomponente der Strömung in y-Richtung
w : Geschwindigkeitskomponente der Strömung in z-Richtung

(ein Fluidteilchen legt in der Zeit dt den Weg u\cdot dt in x,y,z-Richtung zurück, Modell des mitbewegten Beobachters nach Joseph-Louis Lagrange)

damit:

\frac{d\Phi(\vec{x},t)}{dt}=\frac{D\Phi(\vec{x},t)}{Dt}=\frac{\partial\Phi}{\partial t}+u\frac{\partial\Phi}{\partial x}+v\frac{\partial\Phi}{\partial y}+w\frac{\partial\Phi}{\partial z}

mit Einführung des Geschwindigkeitsvektors \vec{w}, welcher die Komponenten u, v, w enthält folgt:

\frac{D\Phi(\vec{x},t)}{Dt}=\frac{\partial\Phi}{\partial t}+\vec{w}\cdot {\rm grad}(\Phi)
grad(Φ) ist hierbei der Gradient, der mit Hilfe des Nabla-Operators dargestellt werden kann.

Es folgt also:

\frac{D\Phi(\vec{x},t)}{Dt}=\underbrace{\frac{\partial\Phi}{\partial t}}_{\mbox{lokal}}+\underbrace{\vec{w}\cdot\nabla\Phi}_{\mbox{konvektiv}}

Zum Verständnis

Der Gradient der Größe Φ zeigt in Richtung des größten Anstieges von Φ. Das Skalarprodukt aus zwei vektoriellen Größen kann als eine Projektion des einen Vektors auf den anderen - mit zugehöriger Streckung/Stauchung sofern nicht einer der Vektoren ein Einheitsvektor ist - verstanden werden. Also beschreibt der konvektive Anteil der substantiellen Ableitung gerade die durch die Bewegung des Fluids/Kontinuums "erfahrene" Änderung der Größe Φ. Bewegt sich das Fluid mit einer Geschwindigkeitskomponente in Richtung des Gradienten ist eine Änderung von Φ festzustellen. Bei einer Bewegung im 3-dimensionalen Raum senkrecht zum Gradienten auf einer sog. Isofläche ist der konvektive Anteil hingegen gleich Null.

Allgemein könnte man als Geschwindigkeit \vec{w} auch die Geschwindigkeit eines sich beliebig durch das Kontrollvolumen bewegenden "Beobachters" nehmen (also nicht unbedingt mit Fluidgeschwindigkeit). Die substantielle Ableitung beschreibt dann die Änderung der Größe Φ, die dieser "Beobachter" quasi registriert. In der Fluiddynamik greift man jedoch häufig auf die "Lagrangesche" Betrachtungsweise zurück, betrachtet werden hier ja die Zustandsgrößen des Fluids und deren zeitliche Änderung und nicht die zeitliche Änderung aufgrund der Relativbewegung des Beobachters.

Um noch einmal den wesentlichen Punkt herauszustellen: Im totalen Differential beschreiben dx, dy und dz ein infinitesimal kleines Volumen, welches nicht an ein Medium gebunden sein muss. Demzufolge sind die Geschwindigkeiten  \frac{dx}{dt},  \frac{dy}{dt} und  \frac{dz}{dt} der totalen Ableitung eben jene Geschwindigkeitskomponenten, welche den Geschwindigkeitsvektor \vec{w} dieses Volumens aufspannen. Da wie erwähnt dx, dy und dz nicht substanzgebunden sind, folgt direkt, dass \vec{w} nicht notwendigerweise der Vektor der Fluidgeschwindigkeit sein muss.


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Substantielle Ableitung — Die Substantielle Ableitung (auch Materielle Ableitung oder Konvektive Ableitung) beschreibt die totale zeitliche Ableitung einer Größe, die von dem Ort eines materiellen Punktes und der Zeit t abhängig ist. Dies kann zum Beispiel die… …   Deutsch Wikipedia

  • Totales Differenzial — Das totale Differential (auch vollständige Differential) ist ein Begriff aus der Differentialrechnung und bezeichnet das Differential einer Funktion, insbesondere bei Funktionen mehrerer Variablen. Zu einer gegebenen Funktion bezeichnet man mit… …   Deutsch Wikipedia

  • Vollständiges Differential — Das totale Differential (auch vollständige Differential) ist ein Begriff aus der Differentialrechnung und bezeichnet das Differential einer Funktion, insbesondere bei Funktionen mehrerer Variablen. Zu einer gegebenen Funktion bezeichnet man mit… …   Deutsch Wikipedia

  • Geothermie — Die Geothermie oder Erdwärme ist die im zugänglichen Teil der Erdkruste gespeicherte Wärme. Sie umfasst die in der Erde gespeicherte Energie, soweit sie entzogen und genutzt werden kann, und zählt zu den regenerativen Energien. Sie kann sowohl… …   Deutsch Wikipedia

  • Hauptreihe — Hertzsprung Russell Diagramm Spektralklasse Braune Zwerge …   Deutsch Wikipedia

  • Lineare Stabilitätstheorie — Die Lineare Stabilitätstheorie (kurz LST) beschreibt physikalisch in einer Strömung das Anwachsen wellenförmiger Störungen mit kleiner Amplitude. Durch Vorgabe eines stationären Strömungsfeldes lassen sich Anfachungsraten und Form der linearen… …   Deutsch Wikipedia

  • Orr-Sommerfeld-Gleichung — Dieser Artikel befasst sich mit dem Anwachsen kleiner Störungen in einem Strömungsfeld. Für weitere Bedeutungen des Begriffs Lineare Stabilitätstheorie siehe Stabilitätstheorie. Die Lineare Stabilitätstheorie (kurz LST) beschreibt in einer… …   Deutsch Wikipedia

  • Squire-Gleichung — Dieser Artikel befasst sich mit dem Anwachsen kleiner Störungen in einem Strömungsfeld. Für weitere Bedeutungen des Begriffs Lineare Stabilitätstheorie siehe Stabilitätstheorie. Die Lineare Stabilitätstheorie (kurz LST) beschreibt in einer… …   Deutsch Wikipedia

  • Stellare Struktur — Dieser Artikel oder Abschnitt bedarf einer Überarbeitung. Näheres ist auf der Diskussionsseite angegeben. Hilf mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung. Der innere Aufbau von Sternen hängt von ihrer Masse und ihrem Alter …   Deutsch Wikipedia

  • Struktur eines Sterns — Dieser Artikel oder Abschnitt bedarf einer Überarbeitung. Näheres ist auf der Diskussionsseite angegeben. Hilf mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung. Der innere Aufbau von Sternen hängt von ihrer Masse und ihrem Alter …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”