Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus

Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus sind die Umkehrfunktionen von Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus und damit Area-Funktionen.

Schreibweisen:

$y = \operatorname{artanh}(x) = \tanh^{-1}(x)$

$y = \operatorname{arcoth}(x) = \coth^{-1}(x)$

Letztere wird seltener benutzt, um die Verwechselung mit dem Kehrwert des hyperbolischen (Ko)Tangens zu vermeiden. Es ist $\operatorname{artanh}(x)=\tanh^{-1}(x)\not= \tanh(x)^{-1}=\tfrac1{\tanh(x)}$.

Definitionen

Areatangens Hyperbolicus:

$\operatorname{artanh}(x) := \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\quad \mathrm{f\ddot{u} r} \quad |x| < 1$

Areakotangens Hyperbolicus:

$\operatorname{arcoth}(x) := \frac{1}{2} \ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)\quad \mathrm{f\ddot{u} r} \quad |x| > 1$

Geometrische Definitionen

Geometrisch lässt sich der Areatangens Hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung (x,y) = (0,0) und der Hyperbel x² − y² = 1 überstreicht: Es seien $(x, -y) = \left(x, -\sqrt{x^2-1} \right)$ und $(x, y) = \left(x, +\sqrt{x^2-1} \right)$ Start- und Endpunkt auf der Hyperbel, dann wird von der Verbindungsstrecke die Fläche $A = \operatorname{artanh} \left(\frac{y}{x}\right)$ überstrichen.

Spezielle Werte

$\begin{alignat}{2}\operatorname{artanh} (0)&=0 &\quad \operatorname{arcoth} (0)&= \tfrac12\pi\mathrm i \\ \operatorname{artanh} (\mathrm i)&=\tfrac14\pi\mathrm i &\quad \operatorname{arcoth}(i)&=-\tfrac14\pi\mathrm i\end{alignat}$

Eigenschaften

Graph der Funktion artanh(x)

Graph der Funktion arcoth(x)

	Areatangens Hyperbolicus	Areakotangens Hyperbolicus
Definitionsbereich	− 1 < x < 1	$-\infty < x < -1$ $1 < x < \infty$
Wertebereich	$-\infty < f(x) < \infty$	$-\infty < f(x) < \infty \; ; \; x \ne 0$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton fallend
Symmetrien	ungerade Funktion: $\operatorname{artanh}(-x) = - \operatorname{artanh}(x)$	ungerade Funktion: $\operatorname{arcoth}(-x) = - \operatorname{arcoth}(x)$
Asymptote	$f(x)\to \infty$ für $x \to 1$	$f(x)\to 0$ für $x \to \pm \infty$
Nullstellen	x = 0	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	$x = \pm 1$	$x = \pm 1$
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	x = 0	keine

Reihenentwicklungen

Taylor- und Laurent-Reihen der beiden Funktionen sind

$\begin{alignat}{2} \operatorname{artanh}(x) &= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)} & = x + \frac13 x^3 + \frac15 x^5+\frac17x^7+\ldots & {} \\ \operatorname{arcoth}(x) &= \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{-2k+1}}{2k-1} & = x^{-1}+\frac13x^{-3}+\frac15x^{-5}+\frac17x^{-7}+\ldots & {} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1) \cdot x^{2k+1}} & = \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{5x^5} + \frac{1}{7x^7} + \ldots & {} \end{alignat}$

Ableitungen

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{artanh}(x)= \frac{1}{1-x^2} \, ; \quad |x| < 1$.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{arcoth}(x)= \frac{1}{1-x^2} \, ; \quad |x| > 1$.

Integrale

Die Stammfunktionen lauten:

$\int \operatorname{artanh}(x)\, \mathrm{d}x = x\cdot \operatorname{artanh}(x) + \frac12\ln\left(1 - x^2\right)$.

$\int \operatorname{arcoth}(x)\, \mathrm{d}x = x\cdot \operatorname{arcoth}(x) + \frac12\ln\left(x^2 - 1\right)$

Additionstheorem

$\operatorname{artanh}(x)\ \pm \operatorname{artanh}(y)\ = \operatorname{artanh} \left( \frac{x \pm y}{1 \pm xy}\ \right)$

Siehe auch

• Trigonometrische Funktionen
• Kreis- und Hyperbelfunktionen

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Inverse Hyperbolic Tangent und Inverse Hyperbolic Cotangent auf MathWorld

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus | Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus | Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus | Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus | Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus