- Laguerre-Polynom
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Laguerre-Polynome (benannt nach Edmond Laguerre) sind die Lösungen der laguerreschen Differentialgleichung
Das n-te Laguerre-Polynom lässt sich über die Rodrigues-Formel
darstellen. Es handelt sich dabei um ein Polynom vom Grad n. Über die ersten Laguerre-Polynome
lassen sich die Weiteren über folgende Rekursionsformeln berechnen:
Zugeordnete Laguerre-Polynome
Die zugeordneten Laguerre-Polynome hängen mit den gewöhnlichen Laguerre-Polynomen über
zusammen. Ihre Rodrigues-Formel lautet
Die zugeordneten Laguerre-Polynome erfüllen die zugeordnete Laguerre-Gleichung
Die ersten zugeordneten Laguerre-Polynome lauten
Wasserstoffatom
Die Laguerre-Polynome haben eine Anwendung in der Quantenmechanik bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom bzw. im allgemeinen Fall für ein Coulomb-Potential. Mittels der zugeordneten Laguerre-Polynome lässt sich der Radialanteil der Wellenfunktion schreiben als
(Normierungskonstante Dnl, charakteristische Länge κ, Hauptquantenzahl n, Bahndrehimpulsquantenzahl l). Die zugeordneten Laguerre-Polynome haben hier also eine entscheidende Rolle. Die normierte Gesamtwellenfunktion ist durch
gegeben, mit der Hauptquantenzahl n, Drehimpuls L, magnetische Quantenzahl m, bohrschen Radius a0 und Kernladungszahl Z. Die Funktion sind die zugeordneten Laguerre-Polynome, und sind die Kugelflächenfunktionen.
Weblinks
- http://mathworld.wolfram.com/LaguerrePolynomial.html
- http://www.uni-stuttgart.de/ipf/lehre/online-skript/mathe/p03.html
- http://www.ieap.uni-kiel.de/plasma/ag-stroth/lehre/physik/HTML/mathe/p03.html
- http://idefix.physik.uni-freiburg.de/~aufgabe/QMI02/qm11/node2.html
- Laguerresche Funktionen
- Radiale Wellenfunktionen, Laguerre-Polynome
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