Leitungstransformation

Die Leitungstheorie ist ein Teilgebiet der Elektrotechnik. Sie befasst sich sowohl in der Hochfrequenztechnik, als auch in der elektrischen Energieversorgung mit Erscheinungen auf Leitungen, deren Länge in der Größenordnung der Wellenlänge des übertragenen Signalspektrums oder darüber liegt. Sie beschäftigt sich mit der mathematischen Beschreibung von Leitungen für Elektromagnetische Wellen mit Hilfe der aus der Maxwellschen Theorie abgeleiteten Leitungsgleichungen, die ein Differentialgleichungssystem bilden.

Allgemein lässt sich eine Leitung nur grob mit dem Ohmschen Widerstand aus Leitungsquerschnittsfläche, Leitfähigkeit und Länge beschreiben. Sobald die Wellenlänge in der Größenordnung der Leitungslänge liegt oder z. B. Schaltvorgänge auf Leitungen beschrieben werden sollen, reicht dieses stark vereinfachte Modell nicht hin.

Mit Hilfe der Leitungsgleichungen (siehe Beitrag zum Leitungswellenwiderstand) und den zugehörigen Größen wie Leitungswellenwiderstand, Reflexionsfaktor, Leitungsbelägen und weiteren Parametern, lassen sich Ausgleichsvorgänge auf Leitungen und Wellenerscheinungen berechnen.

Beaufschlagt man eine Leitung mit einem Wechselstrom oder mit einem Strom- oder Spannungspuls, so wird das Signalausbreitungsverhalten auf der Leitung durch ohmsche, kapazitive und induktive Leitungseigenschaften, die komplexen Leitungsbeläge, bestimmt.

Sinnvoll wird eine leitungstheoretische Betrachtung in der Regel, wenn die geometrischen Abmessungen der Leitungen die gleiche Größenordnung haben oder länger sind, als die Wellenlänge der Strom- oder Spannungsgröße. Eine Wechselspannung von 1 GHz besitzt im Vakuum eine Wellenlänge von rund 30 cm. Wellenvorgänge spielen auf den Platinen moderner Computer eine große Rolle. Somit wären moderne Computer mit hochfrequenter Taktung ohne Anwendung der Leitungstheorie undenkbar.

Die Leitungsgleichungen

Die Leitungsgleichungen lassen sich aus dem Ersatzschaltbild eines infinitesimal kurzen Leitungsabschnitts bestimmen. Die folgende Abbildung zeigt das Ersatzschaltbild eines Leitungsabschnitts der infinitesimalen Länge dx:

Die darin enthaltenen Größen sind auf die Länge dx bezogene Beläge: Der Induktivitätsbelag L′, der Kapazitätsbelag C′, der Widerstandsbelag R′ und der Ableitungsbelag G′. Aus der Spannung U und dem Strom I an der Leitung ergeben sich die beiden Differentialgleichungen der homogenen Leitung:

$\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x} = -(R' + j\omega L') I$

$\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = -(G' + j\omega C') U$

Aus diesen Leitungsgleichungen lässt sich u.a. der Leitungswellenwiderstand bestimmen.

Leitungstransformation

Transformation im Smith-Diagramm

Als Leitungstransformation bezeichnet man in der Leitungstheorie den Effekt, der einen Widerstand am Ende einer von einem Hochfrequenzgenerator gespeisten Leitung am Anfang der Leitung als komplexe Impedanz, in Spezialfällen also auch als Kondensator oder Spule, erscheinen lässt.

Leitungstransformationen lassen sich relativ einfach mithilfe eines Smith-Diagrammes durchführen: Man dreht dazu den normierten Abschlusswiderstand z im Smithdiagramm lediglich im Winkel

$\phi = -\frac{360^\circ}{0{,}5} \cdot \frac{l}{\lambda} = -\frac{360^\circ}{0{,}5} \cdot \frac{l f \sqrt{\epsilon_r}}{c_0}$

um den Punkt z = 1 (Leitungslänge l, Generatorfrequenz f, relative Dielektrizitätszahl ε_r, Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c₀). Die normierte Eingangsimpedanz lässt sich dann direkt aus dem Smith-Diagramm ablesen.

Des Weiteren lässt sich die am Eingang der Transformationsleitung wirkende Impedanz Z₁ auch mathematisch berechnen. In nachfolgender Formel ergibt sich die Impedanz Z₁ aus der Trafoleitung Z_Ltg und l_Ltg sowie der am Ausgang angeschlossenen Impedanz Z₂.

$Z_1 = Z_{Ltg} {{Z_2+j Z_{Ltg} \tan 2 \pi {l_{Ltg} \over \lambda}} \over {Z_{Ltg}+j Z_2 \tan 2 \pi {l_{Ltg} \over \lambda}}}$ wobei für $2 \pi {l \over \lambda} = \beta l= b$ weitere häufig verwendete Notationen sind.

Siehe auch

• Koaxialkabel
• Abschluss
• Anpassung
• Leitungswellenwiderstand
• Reflexion
• Stichleitung
• Kurzschluss
• Leerlauf
• Elektrische Länge