Exponentieller Verlauf

Die Artikel Exponentielles Wachstum und Exponentieller Prozess überschneiden sich thematisch. Hilf mit, die Artikel besser voneinander abzugrenzen oder zu vereinigen. Beteilige dich dazu an der Diskussion über diese Überschneidungen. Bitte entferne diesen Baustein erst nach vollständiger Abarbeitung der Redundanz. Ben-Oni 16:03, 23. Sep. 2008 (CEST)

exp(x)

Das Wachstum oder die Abnahme (auch Zerfall oder negatives Wachstum) eines Bestandes wird als exponentiell bezeichnet, wenn sich der Wachstumsvorgang durch eine Exponentialfunktion beschreiben lässt (Exponentieller Prozess). Dies ist genau dann der Fall, wenn sich der Bestand pro Zeiteinheit nicht um einen festen Betrag ändert (lineares Wachstum), sondern um einen festen Prozentsatz des jeweiligen augenblicklichen Wertes. Der relative Zuwachs pro Zeiteinheit, die so genannte Wachstumsrate, ist konstant.

Beispiele für exponentielle Vorgänge sind das Wachstum von biologischem Gewebe (mit Einschränkungen, s. unten), das Anwachsen von Kapital oder Schulden durch Zins und Zinseszins sowie der radioaktive Zerfall.

Nicht nur zeitabhängige, sondern auch ortsabhängige Veränderungen können exponentiell verlaufen. Das Absorptionsgesetz, das für manche Arten von Strahlung beim Eintritt in eine homogene Materieschicht gilt, hat dieselbe mathematische Form wie die nachstehenden Gleichungen.

Zeitlich exponentielle Vorgänge lassen sich durch die Formeln

$N_t = N_0 \cdot e^{\lambda t}$ für exponentielles Wachstum und

$N_t = N_0 \cdot e^{- \lambda t}$ für exponentielle Abnahme beschreiben.

Dabei ist N₀ der Wert zum Ausgangszeitpunkt (t = 0), N_t der Wert zum Zeitpunkt t und e die Eulersche Zahl.

Charakteristisch für jeden exponentiellen Vorgang ist die im Exponenten auftretende Wachstumskonstante (Wachstum) oder Zerfallskonstante (Abnahme) λ. Wenn für exponentielle Vorgänge einheitlich die Formel für exponentielles Wachstum verwendet wird, so ist λ bei einer Abnahme negativ; üblicher ist es aber, λ auch bei Abnahmevorgängen positiv zu definieren und in der Gleichung wie oben das Minuszeichen vor den Exponenten zu setzen.

Die Verdoppelungszeit T (Wachstum) beziehungsweise Halbwertszeit (Abnahme) hängt dann folgendermaßen direkt mit der Größe λ zusammen:

$\lambda \cdot T = \ln 2$

Dabei ist ln der natürliche Logarithmus.

Weitere Eigenschaften

Funktionswerte, die im Abstand fester Zeitschritte Δt aufeinander folgen, bilden eine geometrische Folge mit dem Faktor q = e^λΔt. Geometrische Folgen stellen eine Möglichkeit dar, exponentielle Vorgänge in elementarer Weise zu beschreiben.

Exponentielles Verhalten ist in der Natur ein oft beobachteter Vorgang. Der mathematische Hintergrund dafür ist, dass die obige Formel die gewöhnliche Differentialgleichung

y'(t) = λy(t)

erfüllt. Diese Gleichung besagt, dass die Änderung eines Wertes zu jeder Zeit proportional zu diesem Wert ist. Im Falle einer Bakterienkultur bedeutet dies beispielsweise, dass umso mehr Bakterien (durch Zellteilung) pro Zeiteinheit neu gebildet werden, je mehr Bakterien bereits vorhanden sind.

Schrittweise exponentielles Wachstum

Neben kontinuierlichen exponentiellen Vorgänge werden manchmal auch schrittweise verwendet. Bei der Berechnung des Zinseszins ist es beispielsweise bis heute üblich, schrittweise vorzugehen, also den Ertrag nicht sofort zu verzinsen, sondern erst ab einem bestimmten Termin (z. B. dem Jahresende). Die Formel hierfür ist dann

$N_t = N_0 \cdot (1+p)^t,$

wobei p der Zinssatz bzw. die schrittweise Wachstumsrate ist.

Für ganze Vielfache der Schrittweite lässt sich ein äquivalenter kontinuierlicher exponentieller Vorgang angeben. Für diesen gilt

$\lambda=\ln(1+p).\,$

5 % jährliche Zinsen entsprechen damit beispielsweise einer kontinuierlichen Wachstumsrate von etwa 4,88 Prozent pro Jahr (siehe dazu auch Zinssatz).

Beispiele für exponentielle Vorgänge

5-fach gefaltete Mylarfolie

Krebs (Medizin)

Zunahme der Dicke von Folien beim Falten

Bei jedem Falten verdoppelt sich die Dicke von Papier oder Folie. Auf diese Weise lassen sich dünne Folien mit einem einfachen Messschieber ausmessen. Die Mylarfolie auf dem Bild besteht nach 5-fachem Falten aus 2⁵ = 32 Lagen Folie, die gemeinsam eine Dicke von 480 µm haben. Eine Folie ist also ca. 15 µm stark. Nach 10-fachem Falten wäre die Lage bereits 15 mm dick, nach weiteren 10 Faltungen mehr als 15,7 m. Da sich gleichzeitig auch die Stapelfläche exponentiell verringert, lässt sich einfaches Papier kaum mehr als zehn Mal zusammenschlagen.

Weitere Beispiele

• Bakterienkulturen wachsen in ihrem Anfangsstadium (unter geeigneten Bedingungen) exponentiell.
• Krebs (Medizin)
• Zinsrechnung
• Schachbrett mit einem Weizenkorn (Weizenkornlegende)

Verwandte Themen

Viele natürliche Wachstumsprozesse lassen sich in ihrem Anfangsstadium sehr gut durch eine Exponentialfunktion beschreiben (vgl. die obigen Beispiele). Früher oder später tritt jedoch fast immer eine Sättigung auf, so dass Prognosen, die auf Extrapolation exponentieller Wachstumskurven beruhen, oft zu maßloser Überschätzung führen. Aussagen wie: Hätten die Ureinwohner Manhattans die 24 Dollar, die sie 1626 für ihr Land erhielten, zu 5 % Zinseszinsen angelegt, dann besäßen sie heute (2007) 2,8 Milliarden Dollar mögen zwar formal korrekt sein, setzen aber mehrere Hundert Jahre ungebremstes exponentielles Wachstum voraus und sind daher für Einzelpersonen nicht realistisch. Für gesamte Volkswirtschaften - und damit auch für die gesamtwirtschaftlichen Vermögen und Schulden - wird jedoch in der Volkswirtschaftslehre auch über (unbegrenzt) lange Zeiträume ein exponentielles Wachstum angenommen und vorausgesetzt. Diese Annahme wurde von einigen Ökonomen scharf kritisiert, z.B. von Kenneth Boulding.

Eine realistischere Beschreibung natürlicher Wachstumsvorgänge, die auch Sättigungseffekte berücksichtigt, ist mittels der logistischen Funktion und der logistischen Gleichung möglich. Auch Teilnehmer an Pyramidenspielen und Schenkkreisen lernen rasch zu ihrem Leidwesen, dass die Wirklichkeit sich stark von der idealen exponentiellen Wachstumskurve unterscheidet.