Liouville-Theorem

Liouville-Theorem

Der Satz von Liouville (auch "Liouville-Theorem" genannt, nach Joseph Liouville) ist eine direkte Folge aus der Liouville-Gleichung und besagt, dass das von benachbarten Trajektorien im Phasenraum eingeschlossene (mehrdimensionale) Volumen konstant ist. Der Satz gilt für konservative Systeme, die im Hamilton-Formalismus beschrieben werden können und aus unabhängigen Teilchen mit gleicher Hamilton-Funktion bestehen. Er gilt deshalb beispielsweise nicht für Isotopen-Gemische, aber für jedes Isotop separat.

Das bedeutet, dass für frei fliegende gleiche Teilchen (auch für Lichtteilchen, also Photonen gleicher Wellenlänge) die Dichte im Ortsraum nur erhöht werden kann, wenn gleichzeitig die Dichte im Impulsraum verringert wird, wenn also die Geschwindigkeiten (nach Richtung oder Betrag) in einem größeren Bereich liegen. Mit "Ortsraum" ist dabei unser "gewöhnlicher" dreidimensionaler Raum gemeint; Impulsraum ist ein mathematischer Raum, dessen Koordinaten die Vektorkomponenten des Impulses sind.

Wenn ein Strahl annähernd parallel fliegender Teilchen (kleine Impulsunschärfe quer zur Bewegungsrichtung) auf einen kleineren Durchmesser fokussiert wird, wird die Dichte im Ortsraum erhöht. Es muss daher die Dichte im Impulsraum verringert werden, die Teilchen müssen also stärker unterschiedliche Impulse (Geschwindigkeiten quer zur Strahlrichtung) erhalten. Es können daher die Teilchenbahnen also nicht mehr so genau parallel bleiben.

Der Satz von Liouville begrenzt, wie stark ein Teilchen- oder Lichtstrahl fokussiert werden kann, ohne Teilchen (bzw. Licht) zu verlieren. Beispielsweise kann ein Laserstrahl mit 1 mm2 Strahlquerschnitt, in dem alle Photonen nahezu denselben Impuls quer zur Strahlrichtung haben (also "parallel fliegen"), auf einen viel kleineren Durchmesser fokussiert werden als das Licht einer kleinen Glühlampe, deren Glühfaden eine Fläche von etwa 1 mm2 hat. Grund dafür ist, dass das Licht der Glühbirne in alle Richtungen emittiert wird, also der Impuls der Photonen sehr unterschiedlich ist (großes Volumen im Impulsraum, das nicht mehr vergrößert werden kann).

Anmerkung: Ein so einfacher Zusammenhang zwischen Impuls und Geschwindigkeit, wie hier angenommen wurde, ist nur gültig, wenn keine Magnetfelder zu berücksichtigen sind.

Eine weitere Folgerung aus dem Satz von Liouville ist die Kontinuitätsgleichung der Hydrodynamik.

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