Logarithmische Darstellung

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Die logarithmische Darstellung basiert auf einer Skale, die nicht den Wert einer physikalischen Größe verwendet, sondern den Logarithmus ihres Zahlenwerts. Bei der logarithmischen Darstellung werden in einem Diagramm die Werte einer oder mehrerer Achsen logarithmiert aufgetragen. Eine solche Darstellung ist vor allem dann hilfreich, wenn der Wertebereich der dargestellten Daten viele Größenordnungen umfasst. Durch die logarithmische Darstellung werden Zusammenhänge im Bereich der kleinen Werte besser überschaubar. Grundsätzlich gilt, dass in Richtung der logarithmischen Achse gleiche Abstände gleiche Faktoren wiedergeben; entspricht also ein Abstand dem Faktor 10, dann entspricht der doppelte Abstand im Diagramm dem Faktor 10².

Dieselbe Verteilung in einfach logarithmischer Darstellung

Dieselbe Verteilung in doppelt logarithmischer Darstellung

Übliche Darstellungsmöglichkeiten

Bode-Diagramm eines Tiefpasses:
oben Phasen-Frequenzgang einfach logarithmisch,
unten Amplituden-Frequenzgang doppelt logarithmisch

Wenn numerische Zusammenhänge im Vordergrund stehen, wird mit dem dekadischen Logarithmus gearbeitet; bei eher prinzipieller Betrachtung wird der natürliche Logarithmus verwendet.

Das abgebildete Bode-Diagramm zeigt als Anwendung in der Elektrotechnik die Übertragungsfunktion eines Tiefpasses über einen Frequenzbereich von mehr als vier Zehnerpotenzen.

Vor allem vor der Einführung von Computer-Grafiken war Logarithmenpapier ein wichtiges Hilfsmittel zur Darstellung. Für die Zeichnung von Diagrammen in logarithmischer Darstellung gibt es einfachlogarithmisches Papier oder doppeltlogarithmisches Papier. Die Möglichkeiten grafischer Darstellungen am Computer haben die Verwendung logarithmischer Skalen stark vereinfacht, und den Verbrauch von solchem Papier stark reduziert.

Mathematische Modellierung

Mit Übergang auf neue Variable

$X= \!\, \log(x)$ und $Y= \!\, \log(y)$

ergeben sich für einige Funktionen Vereinfachungen in der Darstellung, und bestimmte Zusammenhänge werden veranschaulicht. Umgekehrt lässt sich aus einem geradlinigen Verlauf in einer Folge von Messpunkten bei geeignet geteilten Achsen auf die zugrunde liegende Funktion schließen.

Ein Potenzgesetz wird in doppelt logarithmischer Darstellung zur Geraden

$y = a\,x^b \,\Rightarrow\;Y = \log(a) + b X$

Der Sonderfall einer nach rechts unter 45° fallenden Geraden (bei gleichen Maßstäben auf beiden Achsen) weist auf b = −1, also auf umgekehrte Proportionalität.

Ein exponentieller Verlauf lässt sich in einfach logarithmischer Darstellung als Gerade darstellen

$y = a\,\mathrm e^{bx} \,\Rightarrow\;Y = \log(a) + bx\cdot \log (\mathrm e)$

Eine Funktion von Form einer Normalverteilung (gaußsche Glockenkurve) wird in einfach logarithmischer Darstellung zu einer Parabel

$y = a\,\mathrm e^{bx^2} \,\Rightarrow\;Y = \log(a) + bx^2 \cdot \log (\mathrm e)$

Eine Funktion von Form einer Lognormalverteilung wird in einfach logarithmischer Darstellung zu einer Normalverteilung und in doppelt logarithmischer Darstellung zu einer Parabel

$y = a\,\mathrm e^{b(\log(x))^2} \,\Rightarrow\;y = a\,\mathrm e^{bX^2}$

$y = a\,\mathrm e^{b(\log(x))^2} \,\Rightarrow\;Y = \log(a) + bX^2 \cdot \log (\mathrm e)$

Weitere Anwendungen

Für bestimmte Aufgabenstellungen hat es sich eingebürgert, eine Achse als Logarithmus des Logarithmus zu skalieren (log(log(y)), beispielsweise die vertikale Achse bei der grafischen Darstellung von Ölviskositäten nach Ubbelohde-Walther oder im Weibull-Wahrscheinlichkeitspapier.^[1] Hier wird die zweifach logarithmierte Achse gelegentlich auch als doppelt-logarithmisch bezeichnet.

Quellen

1. ↑ Qualitätsmanagement in der Automobilindustrie – 3, „Zuverlässigkeitssicherung bei Automobilherstellern und Lieferanten“, herausgegeben vom VDA 2000, ISSN 0943-9412, Abschnitt 2.4.3

Weblinks

• Humorvolle Darstellung von Objekten verschiedener Höhe in einer logarithmischen Darstellung im xkcd-Webcomic