Logarithmische Gammaverteilung

Die Logarithmische Gammaverteilung (auch Log-Gammaverteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im extremen Großschadenbereich der Industrie-, Haftpflicht-, Rückversicherung.

Definition

Eine stetige Zufallsgröße X mit den Parametern a > 0 und b > 0 genügt der logarithmischen Gammaverteilung, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)=\begin{cases} \frac{\displaystyle b^a}{\displaystyle \Gamma(a)}x^{-(b+1)}(\ln x)^{a-1} & x\geq 1 \\ 0 & x < 1 \end{cases}$

besitzt. Ihre Verteilungsfunktion lautet dann

$F(x)=\begin{cases} \frac{\displaystyle \gamma(a,b \ln x)}{\displaystyle \Gamma(a)} & x \geq 1 \\ 0 & x < 1 \end{cases}$,

wobei γ(p,q) die unvollständige Gammafunktion ist.

Eigenschaften

Erwartungswert

Für b > 1 ergibt sich der Erwartungswert zu

$\operatorname{E}(X) = \left(1-\frac{1}{b}\right)^{-a}$.

Varianz

Die Varianz ergibt sich für b > 2 als

$\operatorname{Var}(X) =\left(1-\frac{2}{b}\right)^{-a}- \left(1-\frac{1}{b}\right)^{-2a}$.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

$\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\left(1+\frac{1}{b(b-2)}\right)^a -1}$.

Schiefe

Die Schiefe lässt sich für b > 3 geschlossen darstellen als

$\operatorname{v}(X) = \frac{\left(\frac{b}{b-3}\right)^a-3\left(\frac{b^2}{(b-2)(b-1)}\right)^a+2\left(\frac{b}{b-1}\right)^{3a}} {\left(\left(\frac{b}{b-2}\right)^a-\left(\frac{b}{b-1}\right)^{2a}\right)^{\frac{3}{2}}}$.

Momente

Es existieren nur die Momente der Ordnung kleiner als b.

Beziehung zu anderen Verteilungen

In der Versicherungsmathematik wird die Verteilung der Anzahl der Schäden häufig mit Hilfe von Poisson-, negativ Binomial- oder logarithmisch verteilten Zufallsvariablen modelliert. Zur Beschreibung der Schadenshöhe eignen sich dagegen die Gamma-, logarithmische Gamma- oder logarithmische Normalverteilung.

Beziehung zur Gammaverteilung

Wenn die Zufallsvariable X Gamma-verteilt ist, dann ist Y = e^X Log-Gamma-verteilt.

Beziehung zur Paretoverteilung

Die Paretoverteilung mit den Parametern k und x_min = 1 entspricht der Log-Gammaverteilung mit den Parametern a = 1 und b = k.