Helix

A: rechtsgängige, B: linksgängige Helix

Die Helix (Plural Helices, auch Schraube, Schraubenlinie, zylindrische Spirale oder Wendel) ist eine Kurve, die sich mit konstanter Steigung um den Mantel eines Zylinders windet. Die Benennung der Windungsrichtung folgt der Rechte-Hand-Regel, die Helix ist rechtsgängig, wenn sie sich im Uhrzeigersinn windet (in der Richtung gesehen, in der sie sich vom Betrachter entfernt), andernfalls linksgängig.

Mathematische Beschreibung

Die vektorielle Beschreibung einer Schraubenlinie in kartesischen Koordinaten lautet

$\vec{x}(t) = \begin{pmatrix}r \cdot \cos(2 \pi\,t) \\ r \cdot \sin(2 \pi\,t) \\ h \cdot t + c\end{pmatrix}$

• Dabei ist $t \in \R$ die Anzahl der von $\vec{x}(0)$ aus durchlaufenen Windungen
• Dabei ist h die Ganghöhe, also diejenige Strecke, um die sich die Schraube bei einer vollen Umdrehung nach oben (in Richtung der Zylinderachse; z-Richtung) windet, r der Radius und c die Verschiebung der Schraube in z-Richtung.
• $k = h/(2\pi\,r)$ ist die Steigung der Helix: Die Helix wird zu einer Geraden mit Steigung k, wenn man den Zylindermantel mit der Helix in die Ebene abwickelt.
• Man nennt α = arctan(k) den Gangwinkel der Helix.

Ganghöhe und Gangwinkel sind zwei in den technischen Anwendungen der Helix grundlegende Kenngrößen, etwa für die Normung von Gewinden.

Eigenschaften

• Für linksgängige Helices wird h negativ.
• Die Bogenlänge der Helix berechnet sich zu $s(t) = 2 \pi\,r \, \sqrt{1 + k^2} \cdot t$
• konstant sind die Krümmung $\kappa = 1 / (r\,(1+k^2)),$ der Krümmungsradius r_k = 1 / κ = r + k²r (der zweite Summand ist der Krümmungsdefekt in Bezug zum umwickelten Zylinder) und die Windung $w = k / (r\,(1+k^2)).$
• Die Torsion $\tau = k \cdot \kappa$ bezeichnet das Maß dafür, wie stark ein Draht in sich verwunden wird, wenn man daraus eine Helix windet.

Die Helix ist eine chirale Kurve, weil sie selbst und ihr Spiegelbild nicht durch Drehen und Verschieben zur Deckung gebracht werden können (zum Beispiel Rechts- und Linksgewinde).

Mehrgängige Schrauben

Fusilli als Beispiel einer Dreifach-Helix

Setzt man zwei kongruente Helices um eine halbe Ganghöhe versetzt zusammen (c₂ = c₁ + h / 2), ergibt sich eine zweigängige Schraube. Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die zweite Helix um eine halbe Umdrehung versetzt. Die beiden Helices haben dann konstanten Abstand und berühren sich nie, die entstehende Kurve zerfällt also in zwei Äste. Analoge Bildung mit mehreren Helices ergibt entsprechend mehrgängige Schraubenlinien. Diese Definitionen spielen in der Technik eine wichtige Rolle.

Helix und Spirale

Bei der Zentralprojektion einer Helix auf eine ebene Fläche entsteht eine hyperbolische Spirale. Das entspricht auch dem Blick in eine Schraube entlang der Achse (siehe Bildbeispiele unten, Helix und Spirale und Wendeltreppe), weil das Auge diesem Projektionstyp folgt (Perspektive).

Beispiele für Helix-Formen in Natur und Technik

Aus zwei Gründen kommen Helices in Natur und Technik oft vor:

• Die Platzersparnis durch die „Aufwicklung“ der Geraden auf einen Zylinder
• Die zur Schraube analoge Keilwirkung

Schraubenförmige Strukturen

Das bekannteste schraubig aufgebaute Biopolymer ist die DNA, die wegen der zwei umeinanderlaufenden, komplementären DNA-Einzelstränge auch als Doppelhelix bezeichnet wird. Ferner sind Teilabschnitte vieler Proteine, vor allem auch solcher, die in Biomembranen integriert sind (integrale Proteine), helikal aufgebaut. Diesen Strukturtyp der Sekundärstruktur bezeichnet man als α-Helix. Auch das aus α-D-Glucose aufgebaute Polysaccharid Amylose, das neben Amylopektin in Stärke enthalten ist, besitzt die Form einer Helix.

Schraubenfeder

In der Technik ist eine Wendel ein oft freitragendes schraubenförmiges Draht-Bauteil (Glühwendel, Wendelantenne, Drahtwiderstand, Wendelrohrpatrone). Eine weitere typische Helix ist die Schraubenfeder, die die Federkräfte einer langen Feder auf geringen Raum unterbringt. Auch die Wendeltreppe nutzt die Platzersparnis, weil die äußere Abmessung von der überwundenen Höhe unabhängig ist. Gleiches gilt für die wendelförmigen Rampen etwa in Tiefgaragen und Parkhäusern. Der Draht einer Glühlampe ist eine Doppelwendel, also eine Helix, um die eine weitere Helix verläuft (Aufbau siehe linkes Galeriebild). Andere Beispiele sind der äußere Rand der Ohrmuschel oder die Peptidketten aus Kollagen.

Schraube und Keilwirkung

Die Keilwirkung beruht darauf, dass der Steigungswinkel eine Bewegung entlang der langen Kathete in eine Normalbewegung entlang der kurzen Kathete „übersetzt“. Aufgrund des Hebelgesetzes ist dann die entstehende Normalkraft um das Verhältnis der Katheten größer als die eingesetzte Kraft. Je kleiner der Steigungswinkel (je flacher der Keil), desto stärker die Wirkung.

Das gilt für die Helix analog. Daher kann ein relativ kleines Drehmoment um die Mittelachse (kleine Radialkraft) in eine große Kraft entlang der Achse umgesetzt werden. Auf diesem Prinzip beruht das Gewinde einer Schraube mit Mutter ebenso wie das der archimedischen Schraube und des Schneckenförderers. Die Funktionsweise des Propellers oder der Gewindespindel im Maschinenbau beruht auf Umwandlung von Umdrehung in Vortrieb/Vorschub. Die Justierschraube nutzt im Umkehrschluss die Reduzierung des Weges, was eine feine Einstellung möglich macht. Auch Korkenzieher mit und ohne „Seele“ sind wendelförmig.

Die Spannuten von Bohrern sind wendelförmig um den Bohrermantel angeordnet. Umgangssprachlich werden die Bohrer fälschlicherweise Spiralbohrer genannt.

Seilerei

Ein weitere Anwendung ist die Seilerei. Während die Bruchlast für einen einzelnen Faden oder ein paralleles Faserbündel nur vom Querschnitt abhängig ist, und daher auch Dicke und Schwere stark zunehmen, sind bei einem Seil die einzelnen Fasern oder Litzen verdrillt („geschlagen“). Bei Belastung wandelt sich die Zugkraft in eine zur Faser normale Kraft, die – weil die Steigung der Helizes nahe bei 90° liegt und die Keilwirkung sich umkehrt – deutlich geringer ist. Zusätzlich wird sie als Druckspannung auf die Nachbarfasern und/oder die Seele übertragen. Dabei heben sich die Kräfte zwischen den einzelnen Fasern oder Litzen auf, die Seele wird extrem komprimiert (daher werden dafür elastische Materialien verwendet) und nimmt die Energie auf.

Bildbeispiele

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  Helix

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  Spiralkabel

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  Helix, leicht perspektivisch

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  Helix (grün) und hyperbolische Spirale (schwarz)

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  Eine Schraube entlang einer Schraube, Doppelwendel

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  Zweigängige Schraube und Modell der DNA, Doppelhelix

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  Treppenhaus in den Vatikanischen Museen in Form einer zweigängigen Schraube

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  Helix-Struktur in der Fassade des Art Tower Mito

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  Torusförmige Endloshelix

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  Rechtsgängige Helix einer Zaunwinde, Steigung ungefähr 60 °

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  Wendelbohrer; von links nach rechts: 8-mm-Bohrer für Holz, Metall und Beton sowie ein Zentrierbohrer

Weblinks

 Commons: Schrauben – Sammlung von Bildern

• www.wissenschaft.de: Warum die Natur die Helix so liebt