Lösungsmenge

In der Mathematik wird die Menge der Lösungen einer Gleichung, einer Ungleichung oder eines Systems von Gleichungen und Ungleichungen oft als Lösungsmenge bezeichnet.

Lösungsmenge

Die Lösungsmenge einer Gleichung, einer Ungleichung oder eines Systems von Gleichungen und Ungleichungen sind alle Werte für die die Gleichungen beziehungsweise Ungleichungen erfüllt sind. Die Lösungsmenge kann

• genau ein (die Gleichung ist eindeutig lösbar),
• mehrere bzw. auch unendlich viele (die Gleichung ist lösbar)
• oder aber kein (die Gleichung ist unlösbar bzw. die Lösungsmenge ist leer)

Element enthalten.

Als Symbol für die Lösungsmenge wird meist der Buchstabe L, manchmal auch als $\mathbb L$ dargestellt, verwendet. Es darf aber nicht vergessen werden, dass diese Menge L sowohl von der Gleichung selbst, als auch von dem Bereich, in dem nach Lösungen gesucht wird, abhängt. So hat beispielsweise die Gleichung x² = − 1 für $x\in\mathbb R$ (reelle Zahlen) keine Lösung, hingegen für $x\in\mathbb C$ (komplexe Zahlen) zwei Lösungen.

Lösungsraum

Die Lösungsmenge eines homogenen beziehungsweise inhomogenen linearen Gleichungssystems ist immer ein Vektorraum beziehungsweise ein affiner Vektorraum. Hat die Lösungsmenge eine solche Struktur so spricht man auch von einem Lösungsraum.

Es sei Ax = b eine inhomogene lineare Gleichung (bzw. ein Gleichungssystem), d. h. $A\colon V\to W$ ist eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen V,W, und es gilt $0\ne b\in W$. Dann gibt es zwei Möglichkeiten:

• Die Lösungsmenge ist leer.
• Es gibt eine Lösung x₀, und jede andere Lösung entsteht aus x₀ durch Addition einer Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung Ax = 0. Man nennt x₀ in diesem Zusammenhang eine Partikularlösung. Die Lösungsmenge ist also der affine Raum x₀ + K mit dem Kern K von A.

Beispiele

Es ist jeweils eine Gleichung und ihre Lösungsmenge für $x,y \in \mathbb R$ angegeben:

• $x = 1 \qquad\;\, L = \left\{1\right\}$
• $x + 2 = 5 \;\;\, L = \left\{3\right\}$
• $\frac{1}{x^2} = 9 \qquad L = \{-\tfrac{1}{3}; \tfrac{1}{3}\}$
• $x^2 \leq 4 \qquad L = [-2; 2]$, die Lösungsmenge ist ein Intervall
• $xy = 1 \qquad L = \left\{ \left(x;\frac{1}{x}\right) | x \neq 0 \right\}$, die Lösungsmenge ist eine Menge von Paaren.
• Ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{matrix} x & + & 2y & = & 8\\ 2x & + & y & = & 7\\ \end{matrix} \qquad L = \{ (2;3) \}$

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14 Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.