Apery-Konstante

Die Apéry-Konstante ist eine mathematische Konstante, die als Wert der Reihe

$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3} = \frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \cdots$

definiert ist. Sie entspricht der Wert der riemannschen ζ-Funktion

$\zeta (z)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^z}$

an der Stelle z = 3.

Ein Näherungswert ist

$\zeta(3)=1,20205\; 69031\; 59594\; 28539\; 97381\; 61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots$

Derzeit (19. Jan. 2009) sind 15.500.000.000 dezimale Nachkommastellen bekannt.^[1]

Die Konstante ist nach Roger Apéry benannt, der bewies, dass ζ(3) irrational ist. Ob sie auch transzendent ist, ist bisher nicht bekannt. Über die Werte der Zetafunktion bei anderen ungerade natürlichen Zahlen weiß man in Gegensatz zu den geraden sehr wenig.

Der Wert der Konstante entspricht der reziproken Wahrscheinlichkeit, dass drei zufällig gewählte, ungerade natürliche Zahlen nicht teilerfremd sind.

Eine weitere Darstellung stammt von Theodor Amdeberhan and Doron Zeilberger (1997)^[2]

$\zeta(3) = \tfrac1{24}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{A(n)\cdot (2n+1)!^3\cdot (2n)!^3\cdot n!^3}{(3n+2)!\cdot (4n+3)!^3}$,

wobei A(n): = 126392n⁵ + 412708n⁴ + 531578n³ + 336367n² + 104000n + 12463.

Diese Reihe konvergiert sehr schnell.

Literatur

• Roger Apéry: Irrationalité de ζ(2) et ζ(3). Astérisque, 61, 11-13, 1979.
• Frits Beukers: A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bulletin of the London Mathematical Society, 11, 268-272, 1979.

Weblinks

• Beweis der Irrationalität von ζ(3) im Beweisarchiv (alternativer Beweis nach Frits Beukers)
• Eric W. Weisstein: Apéry’s Constant auf MathWorld (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html
2. ↑ Projekt Gutenberg: http://infomotions.com/etexts/gutenberg/dirs/etext01/zeta310.htm