Apéry-Konstante

Die Apéry-Konstante ist eine mathematische Konstante, die als Wert der Reihe

$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3} = \frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \cdots$

definiert ist. Sie entspricht dem Wert ζ(3) der riemannschen ζ-Funktion an der Stelle 3.

Grundlegendes

Die Konstante wurde schon 1735 von Euler betrachtet.^[1] Sie ist nach Roger Apéry benannt, der 1979 bewies, dass sie irrational ist.^[2] Ob sie auch transzendent ist, ist bisher nicht bekannt, auch nicht, ob sie normal ist.^[3] Über die Werte der Zetafunktion bei weiteren ungeraden natürlichen Zahlen weiß man – im Gegensatz zu den Werten bei geraden Zahlen – wenig: Es müssen unendlich viele der Zahlen ζ(2n+1), n = 1, 2, 3 …, irrational sein,^[4] dabei mindestens eine von ζ(5), ζ(7), ζ(9) und ζ(11).^[5]

Für das Irrationalitätsmaß r(ξ) = inf R, wobei R die Menge der positiven reellen Zahlen r ist, für die höchstens endlich viele Paare positiver ganzer Zahlen p und q mit 0 < |ξ−p/q| < 1/q^r existieren, sind die Schranken 2 ≤ r(ζ(3)) < 5,513891 bekannt,^[6] insbesondere ist ζ(3) nicht liouvillesch.

Der Wert der Konstante entspricht der reziproken Wahrscheinlichkeit, dass drei zufällig gewählte ungerade natürliche Zahlen nicht teilerfremd sind.

Näherung

Ein Näherungswert ist

ζ(3) = 1,20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292 34049 ... (Folge A002117 in OEIS).

Derzeit (Stand 17. November 2010) sind 10¹¹ dezimale Nachkommastellen bekannt.^[7]

Reihendarstellungen

Apéry verwendete die Formel

$\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3 \binom{2n}{n}}.$

Ein bereits Euler bekanntes Resultat ist

$\zeta(3) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^2}$

mit den harmonischen Zahlen H_n. Zahlreiche verwandte Formeln wie

$\zeta(3) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{ij(i+j)}$

führen ebenfalls zur Apéry-Konstante.^[8] Aus ζ(z) / 2^z = λ(z) / (2^z − 1) = η(z) / (2^z − 2) mit der dirichletschen λ- und η-Funktion erhält man

$\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^3} = \frac{4}{3} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3}.$

Eine schnell konvergierende Reihe stammt von Tewodros Amdeberhan und Doron Zeilberger (1997):^[9][10]

$\zeta(3) = \frac1{24} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{A(n)\cdot (2n+1)!^3 \cdot (2n)!^3 \cdot n!^3}{(3n+2)! \cdot (4n+3)!^3}$

mit A(n) = 126392n⁵ + 412708n⁴ + 531578n³ + 336367n² + 104000n + 12463.

Nach Matyáš Lerch (1900):^[11]

$\zeta(3) = \frac{7\pi^3}{180} - 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n}-1)}.$

Simon Plouffe entwickelte diesen Ausdruck weiter:^[12]

$\zeta(3) = \frac{\pi^3}{28} + \frac{16}{7} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{\pi n}+1)} - \frac{2}{7} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{2\pi n}+1)}$

$\zeta(3) = 28 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{\pi n}-1)} - 37 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{2\pi n}-1)} + 7 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{4\pi n}-1)}.$

Weitere Formeln

Eine Verbindung zu den Primzahlen ist:

$\zeta(3) = \prod_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{1 - p^{-3}}.$

Auch existieren verschiedene Integraldarstellungen. Beispiele sind:

$\zeta(3) = \int \limits_0^1 \int \limits_0^1 \int \limits_0^1 \frac{\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z}{1 - xyz}$

$\zeta(3) = \frac{1}{2} \int \limits_0^\infty \frac{x^2}{\mathrm{e}^x - 1} \mathrm{d}x.$

Sie taucht ebenfalls als ein Spezialfall der zweiten Polygammafunktion auf, es gilt nämlich:

$\zeta(3) = - \frac{1}{2}\psi_2(1).$

Literatur

• Frits Beukers: A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bulletin of the London Mathematical Society 11, Oktober 1979, S. 268–272 (englisch)
• Alfred van der Poorten: A proof that Euler missed … Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report, The Mathematical Intelligencer 1, Dezember 1979, S. 195–203 (englisch; auf van der Poortens Homepage mit Postskripta: Alf’s reprints. Paper 45, PDF-Datei, 205 kB)
• Steven R. Finch: Apéry’s constant, Kapitel 1.6 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 40–53 (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Leonhard Euler: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13. Oktober 1735), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „1,202056903159594“ auf S. 21)
2. ↑ Roger Apéry: Irrationalité de ζ(2) et ζ(3). Astérisque 61, 1979, S. 11–13 (französisch)
3. ↑ David H. Bailey, Richard E. Crandall: Random generators and normal numbers (PDF-Datei, 399kB), Experimental Mathematics 11, 2002, S. 527–546 (englisch)
4. ↑ Tanguy Rivoal: La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs, Comptes rendus de l’Académie des sciences Série I 331, 2000, S. 267–270 (französisch; arXiv:math/0008051v1)
5. ↑ W. W. Zudilin: One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational, Russian Mathematical Surveys 56, 2001, S. 774–776 (englisch)
6. ↑ Georges Rhin, Carlo Viola: The group structure for ζ(3), Acta Arithmetica 97, 2001, S. 269–293 (englisch)
7. ↑ Large Computations von Alexander J. Yee, 17. September 2010 (englisch)
8. ↑ Walther Janous: Around Apéry’s constant, Journal of inequalities in pure and applied mathematics 7, 2006, Artikel 35 (englisch)
9. ↑ Tewodros Amdeberhan, Doron Zeilberger: Hypergeometric series acceleration via the WZ method, The Electronic Journal of Combinatorics 4(2), 1997 (englisch)
10. ↑ The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places im Project Gutenberg (englisch)
11. ↑ Matyáš Lerch: Sur la fonction ζ(s) pour les valeurs impaires de l’argument, Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14, 1900, S. 65–69 (französisch; Jahrbuch-Zusammenfassung)
12. ↑ Identities inspired by Ramanujan Notebooks (part 2) von Simon Plouffe, April 2006 (englisch)

Weblinks

• Irrationalität von Zeta(3) im Beweisarchiv (alternativer Beweis nach Frits Beukers)
• Eric W. Weisstein: Apéry’s Constant. In: MathWorld. (englisch)
• Folge A013631 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von ζ(3))
• Folge A053980 in OEIS (Engel-Entwicklung von ζ(3))