Arkussekans und Arkuskosekans

Arkussekans und Arkuskosekans sind zyklometrische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der Sekansfunktion bzw. der Kosekansfunktion und damit Arkusfunktionen. Da die Sekans- und die Kosekansfunktion periodisch sind, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Sekans auf $\lbrack 0\, ,\, \pi \rbrack$ , und der Definitionsbereich von Kosekans auf $\lbrack - {\pi / 2 },\, \pi / 2 \rbrack$ beschränkt. Der Arkussekans wird mit $\operatorname{arcsec}\,(x)$ bezeichnet und der Arkuskosekans mit $\operatorname{arccsc}\,(x)$. Seltener, vor allem aber im Englischen verwendet man auch die Schreibweisen sec  ^{− 1}(x) und csc  ^{− 1}; sie bedeuten aber nicht, dass $\operatorname{arcsec}$ bzw. $\operatorname{arccsc}$ die Kehrwerte von sec  und csc  sind.

Eigenschaften

	Arkussekans	Arkuskosekans
Funktions- Graphen
Definitionsbereich	$-\infty < x \le -1 \, , \, 1 \le x < +\infty$	$-\infty < x \le -1 \, , \, 1 \le x < +\infty$
Wertebereich	$0 \le f(x) \le \pi$	$- \frac{\pi}{2} \le f(x) \le \frac{\pi}{2}$
Monotonie	In beiden Abschnitten jeweils streng monoton steigend	In beiden Abschnitten jeweils streng monoton fallend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Punkt $x = 0 , y = \frac{\pi}{2}$	Ungerade Funktion $\operatorname{arccsc}\,(x)=-\operatorname{arccsc}\,(-x)$
Asymptoten	$f(x) \to \frac{\pi}{2}$ für $x \to\pm\infty$	$f(x) \to 0$ für $x \to\pm\infty$
Nullstellen	$x = 1\!\,$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	Minimum bei $\left(1|0\right)$, Maximum bei $\left(-1|\pi\right)$	Minimum bei $\left(-1|-\frac\pi2\right)$, Maximum bei $\left(1|\frac\pi2\right)$
Wendepunkte	keine	keine

Reihenentwicklungen

Die Reihenentwicklungen von Arkussekans und Arkuskosekans sind:

$\arcsec(x) = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!! x^{-(2k+1)}}{(2k)!! \cdot (2k+1) } \approx \frac{\pi}{2} - x^{-1} - \frac{1}{6} x^{-3} - \frac{3}{40} x^{-5}$

$\arccsc(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!! x^{-(2k+1)}}{(2k)!! \cdot (2k+1)} = \frac{1}{x} \;+\; \frac{1}{2\cdot3x^3} \;+\; \frac{3}{2\!\cdot\!4\cdot5x^5} \;+\; \frac{3\!\cdot\!5}{2\!\cdot\!4\!\cdot\!6\cdot7x^7} \;+\; \ldots$

Integraldarstellungen

Für den Arkussekans und Arkuskosekans existieren folgende Integraldarstellungen:

$\arcsec(x) = \int \limits_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t \sqrt{t^2 - 1}}$

$\arccsc(x) = \int \limits_x^\infty \frac{\mathrm{d}t}{t \sqrt{t^2 - 1}}$

Ableitungen

Die Ableitungen sind gegeben durch:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{arcsec}\,(ax+b) = \frac{a}{|ax+b| \sqrt{(ax+b)^2 - 1}}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{arccsc}\,(ax+b) = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arcsec}\,(ax+b) = - \frac{a}{|ax+b| \sqrt{(ax+b)^2 - 1}}$

Integrale

$\int\operatorname{arcsec}\,(x)\,\mathrm{d}x=x \cdot \operatorname{arcsec}\,(x) -\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$

$\int\operatorname{arccsc}\,(x)\,\mathrm{d}x=x\cdot\operatorname{arccsc}\,(x) +\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$

Umrechnung und Beziehungen zu anderen trigonometrischen Funktionen

$\operatorname{arcsec}\,(x)=\operatorname{arccos}\left(\frac{1}{x}\right)$

$\operatorname{arccsc}\,(x)=\operatorname{arcsin}\left(\frac{1}{x}\right)$

Siehe auch

• Formelsammlung Trigonometrie
• Trigonometrische Funktionen

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Inverse Secant und Inverse Cosecant auf MathWorld

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus | Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus | Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus | Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus | Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus