Sekans und Kosekans

Definitionen am Einheitskreis

Sekans und Kosekans sind trigonometrische Funktionen. Der Sekans wird mit sec(x) bezeichnet, der Kosekans mit csc(x). Die Funktionen haben ihren Namen durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge von Sekantenabschnitten:

$\overline{OT} = \operatorname{sec}(b) \qquad\qquad \overline{OK} = \operatorname{csc}(b)$

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sekans das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete und damit die Kehrwertfunktion der Kosinusfunktion.

Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete und damit die Kehrwertfunktion der Sinusfunktion:

$\sec (\alpha) = \frac{l_{\rm Hy}}{l_{\rm AK}} = \frac{c}{b} \qquad \qquad \csc (\alpha) = \frac{l_{\rm Hy}}{l_{\rm GK}} = \frac{c}{a}$

$\operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)} \qquad\qquad \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}$

Eigenschaften

Graphen

Graph der Sekansfunktion

Graph der Kosekansfunktion

Definitionsbereich

Sekans:	$-\infty < x < +\infty \quad ; \quad x \ne \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}$
Kosekans:	$-\infty < x < +\infty \quad ; \quad x \ne n \cdot \pi\ ; \, n \in \mathbb{Z}$

Wertebereich

$-\infty < f(x) \le -1 \quad ; \quad 1 \le f(x) < +\infty$

Periodizität

Periodenlänge $2 \cdot \pi \,:\, f(x+2\pi) = f(x)$

Symmetrien

Sekans:	Achsensymmetrie: f(x) = f( − x)
Kosekans:	Punktsymmetrie: f( − x) = − f(x)

Polstellen

Sekans:	$x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,;\,n\in\mathbb{Z}$
Kosekans:	$x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}$

Extremwerte

Sekans:	Minima:	$x = 2n \cdot \pi \,;\, n \in \mathbb{Z}$	Maxima:	$x = (2n - 1) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}$
Kosekans:	Minima:	$x = \left( 2n + \frac{1}{2} \right) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}$	Maxima:	$x = \left( 2n - \frac{1}{2} \right) \cdot \pi\ ;\, n \in \mathbb{Z}$

Weder die Sekansfunktion noch die Kosekansfunktion haben horizontale Asymptoten, Sprungstellen, Wendepunkte oder Nullstellen.

Umkehrfunktionen

Sekans:

Auf einer halben Periodenlänge, z. B. $x \in [0 , \pi]$ ist die Funktion umkehrbar (Arkussekans):

$x = \operatorname{arcsec}(y)$

Kosekans

Auf einer halben Periodenlänge, z. B. $x \in \left[-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]$ ist die Funktion umkehrbar (Arkuskosekans):

$x = \operatorname{arccsc}(y)$

Reihenentwicklung

Sekans:

$\sec(x) = 4\pi \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k(2k+1)} {(2k+1)^2 \pi^2 - 4 x^2 }$

Kosekans:

$\csc(x) = \frac{1}{x} - 2x \, \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k} {k^2\pi^2-x^2} = \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{(-1)^k \, x}{x^2-k^2\pi^2}$

Ableitung

Sekans:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{sec}(x) = \operatorname{sec}(x) \cdot \tan(x) = \frac{\operatorname{sec}^2(x)}{\operatorname{csc}(x)}$

Kosekans

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{csc}(x) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{\sin(x)}= - \operatorname{csc}(x) \cdot \cot(x) = - \frac{\operatorname{csc}^2(x)}{\operatorname{sec}(x)} =-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}$

Integral

Sekans:

$\int\sec(x)\,\mathrm dx=\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{\cos(x)}\right|=\ln\Big|\sec(x)+\tan(x)\Big|$

Kosekans

$\int\csc(x)\,\mathrm dx=\ln\left|\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}\right|=\ln\left|\tan \left(\frac{x}{2} \right)\right|$

Komplexes Argument

$\sec(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{2\cos(x)\cosh(y)}{\cos(2x) + \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{2\sin(x)\sinh(y)}{\cos(2x) + \cosh(2y)}$   mit $x,y \in \mathbb{R}$

$\csc(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{-2\sin(x)\cosh(y)}{\cos(2x) - \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{2\cos(x)\sinh(y)}{\cos(2x) - \cosh(2y)}$   mit $x,y \in \mathbb{R}$

Siehe auch

• Sinus und Kosinus
• Tangens und Kotangens

• Trigonometrische Funktion
• Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Secant und Cosecant auf MathWorld

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus | Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus | Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus | Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus | Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus