Nichtstandardanalysis

Nichtstandardanalysis ist ein Gebiet der Mathematik, das sich mit nicht-archimedisch geordneten Körpern beschäftigt. Der wichtigste Unterschied zur normalen Analysis besteht darin, dass in der Nichtstandardanalysis auch unendlich große und unendlich kleine Zahlen vorkommen.

Modelltheoretischer Zugang

Neben den in der Standard-Analysis üblichen reellen Zahlen werden so genannte hyperreelle Zahlen verwendet. Die hyperreellen Zahlen bilden einen geordneten Erweiterungskörper der reellen Zahlen, und können damit nicht das archimedische Axiom erfüllen. Eine Verletzung des Archimedischen Axioms findet hier zum Beispiel durch die so genannten Infinitesimalzahlen statt; das sind Zahlen, die näher bei Null liegen als jede von 0 verschiedene reelle Zahl.

Die hyperreellen Zahlen erfüllen aber das Archimedische Axiom, wenn es statt mit $\N$ mit der Menge $\N^\ast$ der hypernatürlichen Zahlen formuliert wird. Formuliert man die Vollständigkeit mit Abbildungen $\N^\ast \rightarrow \R^\ast$ (anstelle von Folgen $\N \rightarrow \R^\ast$), so erfüllen die hyperreellen Zahlen auch diese Vollständigkeit. Die hyperreellen Zahlen bilden also (wenn das Symbol $\N$ uminterpretiert wird) einen (*-) vollständigen, (*-) archimedisch geordneten Körper, das heißt ein Modell der Axiome der reellen Zahlen (das nicht zu $\R$ isomorph ist).

Das erste Modell einer Nichtstandardanalysis wurde in den 1960er Jahren von Abraham Robinson entwickelt. Er verwendete dieses, um einen Satz aus der Funktionalanalysis zu zeigen, nämlich dass jeder polynomial kompakte Operator in einem Hilbertraum einen invarianten Unterraum besitzt. Allerdings verlangt die Konstruktion des Modells die Verwendung eines Ultrafilters über $\N$. Von diesem kann man zwar mit Hilfe des Auswahlaxioms die Existenz nachweisen, man kann allerdings keinen solchen Ultrafilter konkret angeben.

In der Nichtstandardanalysis können die in der Analysis üblichen Begriffe wie Ableitung oder Integral ohne Grenzwerte definiert werden. In dieser Hinsicht ist die Nichtstandardanalysis näher bei den Ideen der Gründer der Infinitesimalrechnung, Newton und Leibniz. Die Verwendung von „unendlich kleinen Größen“ in der Nichtstandard-Analysis ist jedoch, im Gegensatz zu Newton und Leibniz, logisch einwandfrei und ohne bekannte Widersprüche. Es gibt ferner Anwendungen der Nichtstandardanalysis in der Stochastik und der Topologie.

Axiomatische Zugänge

Neben dem modelltheoretischen Zugang existieren noch verschiedene axiomatische Zugänge, die sich untereinander stark unterscheiden.

Anmerkung: Die vorhandene Literatur ist fast ausschließlich in englischer Sprache, zudem werden die Theorien gewöhnlich mit ihren Abkürzungen bezeichnet. Daher haben sich bisher teilweise keine deutschen Fachbegriffe durchgesetzt.

Hrbacek'sche Mengenlehre

In der HST (Hrbacek Set Theory) wird die modelltheoretische Vorstellung fast exakt übernommen. Dazu führt man drei Klassen von Objekten ein, die der wohlfundierten Mengen, die der internen Mengen und die der Standardmengen. Die Klassen WF, I und S folgen dabei unterschiedlichen Axiomen, z.B. gilt das Auswahlaxiom nur innerhalb dieser Mengen, nicht aber für Mengen, die in keiner dieser Klassen enthalten sind (externe Mengen).

Die Abbildung $\ast$, die im modelltheoretischen Zugang das ursprüngliche mit dem erweiterten Universum verbindet, ist hier ein Strukturisomorphismus $WF \rightarrow S$, also eine Abbildung, die Objekte so verbindet, dass logische Aussagen erhalten bleiben. Beispielsweise ist $\R \in WF$ ein vollständiger, archimedisch geordneter Körper, also ist auch $\R^\ast \in S$ ein vollständiger (bezüglich Hyperfolgen $\N^\ast \rightarrow \R^\ast$), archimedisch geordneter (bezüglich hypernatürlichen Zahlen $\N^\ast$) Körper.

In diesem Hintergrund kann man die Mathematik wie üblich aus der Mengenlehre aufbauen, erhält dabei aber ganz automatisch das erweiterte Universum.

Internal Set Theories

Diese Theorien beschränken die Betrachtungen auf das erweiterte Universum (der internen Mengen), indem innerhalb der "üblichen Mathematik" Standard-Objekte ausgezeichnet werden. Wie sich diese Standardobjekte verhalten wird durch Axiome festgelegt. Weit verbreitet ist etwa das Transfer-Axiom: Wenn eine Aussage in der Sprache der klassischen Mathematik für alle Standard-Objekte zutrifft, dann auch für alle Objekte.

Die Entsprechung im modelltheoretischen Zugang wäre: Wenn eine Aussage im ursprünglichen Universum zutrifft, dann auch im (strukturisomorphen) erweiterten Universum.

Die bekannteste Theorie interner Mengen ist die Internal Set Theory von Edward Nelson. Sie ist aber nicht mit der Theorie von Hrbacek vereinbar, denn in IST existiert eine Menge, die alle Standardobjekte enthält, allerdings muss S in HST (siehe oben) eine echte Klasse sein.

Daher werden auch schwächere Theorien betrachtet (Bounded Set Theory, Basic Internal Set Theory und - in der Fachwelt wenig beachtet - die überarbeitete Version von Nelson's IST), die ebenfalls unter dem Sammelbegriff "Theorien interner Mengen" ("internal set theories") zusammengefasst werden.

Beispiel

Die Stetigkeit einer reellen Funktion f in einem Punkt x₀ kann in der Standard-Analysis so definiert werden:

$\forall \varepsilon > 0: \exists \delta > 0: \forall x \in \R: |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$

In der Nichtstandardanalysis kann man sie so definieren: Ist f eine Funktion und x₀ ein Standard-Punkt, dann ist f in x₀ genau dann S-stetig, wenn

$\forall x \in {}^*\R: x \approx x_0 \Rightarrow f(x) \approx f(x_0)$,

wobei ${}^*\R$ der in der Nichtstandardanalysis erzeugte Erweiterungskörper von $\R$ ist und $x \approx y$ bedeutet, dass die (Nichtstandard-)Zahlen x und y einen infinitesimalen Abstand haben.

Diese beiden Definitionen beschreiben allerdings unterschiedliche Konzepte: Es lassen sich Beispiele für (Nichtstandard-) Funktionen angeben, die (nach der epsilon-delta-Definition) unstetig sind, z.B. i-kleine Sprünge aufweisen, aber (nach der Infinitesimal-Definition) S-stetig sind, oder umgekehrt, z.B. wenn ein Abschnitt der Funktion eine i-große Steigung aufweist. Nur für Standard-Funktionen sind beide Stetigkeitsbegriffe äquivalent.

Sonstiges

Die surrealen Zahlen bilden einen nicht-archimedisch geordneten Erweiterungskörper der reellen Zahlen, der auf völlig andere Weise als der Körper der hyperreellen Zahlen gewonnen wird.

Literatur

• Skript zur Mengentheoretischen Topologie, mit einem Kapitel zur Nichtstandard Topologie (im PDF-Format, deutsch) (1,72 MB)
• Dieter Landers, Lothar Rogge: Nichtstandard Analysis. Springer, Berlin, 1994, ISBN 3-540-57115-9
• Vladimir Kanovei, Michael Reeken: Nonstandard Analysis, Axiomatically. Springer, Berlin, 2004, ISBN 3-540-22243-x