Noise Figure

Die Rauschzahl, manchmal auch Rauschfaktor genannt, ist in der Nachrichtentechnik eine Kennzahl bezüglich des Rauschens eines Vierpols. Ein Vierpol, auch als Zweitor bezeichnet, kann in diesem Zusammenhang beispielsweise eine Verstärkerstufe darstellen.

Allgemeines

Vierpol mit Eingang und Ausgang

Zur Ermittlung der Rauschzahl wird angenommen, dass der Generator, der den Eingang des Vierpols anspeist, zusätzlich zum Nutzsignal thermisch rauscht und sich auf einer Rauschtemperatur von 290 K befindet. Der Temperaturwert, der ungefähr der Raumtemperatur entspricht, ist willkürlich gewählt und bezeichnet die Standard-Rauschzahl ^[1].

An den Eingang wird eine Signalleistung S₁ und Rauschleistung N₁ abgegeben, deren Verhältnis das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) des Einganges S₁/N₁ darstellt. Der Vierpol gibt dann an seinem Ausgang eine Signalleistung S₂ und Rauschleistung N₂ ab. Bei einem ideal angenommen, rauschfreien Vierpol ist das SNR des Ausganges S₂/N₂ gleich dem SNR des Einganges S₁/N₁.

Bei realen Vierpolen, wie beispielsweise einem elektronischen Verstärker mit dem Verstärkungsfaktor G, weist der Verstärker intern mit dem Generator nicht korrelierte Rauschquellen auf, wodurch das Signal-Rausch-Verhältnis am Ausgang immer geringer als das Signal-Rausch-Verhältnis vom Eingang ist:

$\frac{S_2}{N_2} \le \frac{S_1}{N_1}$

Die Funktion eines Verstärkers besteht in diesem Zusammenhang darin, den Signalpegel soweit anzuheben, dass trotz Verschlechterung des Signal-Rausch-Verhältnisses am Ausgang, das Nutzsignal S soweit anzuheben, dass es über den Rauschpegel der nachfolgenden Verarbeitungsstufen liegt.

Definition

Die Rauschzahl F ist gegeben durch das Verhältnis:

$F = \frac{\mathrm{SNR}_\mathrm{ein}}{\mathrm{SNR}_\mathrm{aus}} = \frac{N_2}{G \cdot N_1}$

mit dem Verstärkungsfaktor G des Verstärkers. Liegt eine Dämpfung, wie beispielsweise bei einem Kabel vor, ist G kleiner 1. Häufig wird die Rauschzahl logarithmisch in Dezibel (dB) angegeben:

$F_{\mathrm{dB}} = 10 \cdot \mathrm{log} \frac{\mathrm{SNR}_\mathrm{ein}}{\mathrm{SNR}_\mathrm{aus}}$

Da die Größen im allgemeinen von der Frequenz abhängen, wird für die praktische Bestimmung der Rauschzahl im Rahmen der Rauschmessung eine hinreichend kleine Bandbreite gewählt, innerhalb der alle Größen über die Frequenz näherungsweise konstant sind. Damit wird die Rauschzahl zu einer Funktion der Frequenz, die dann auch als spektrale Rauschzahl bezeichnet wird.

Linearer Vierpol

Weiters ist es möglich, die Rauschzahl über die im linearen Vierpol zusätzlich erzeugte Rauschleistung N_v zu beschreiben. Die ausgangsseitige Rauschleistung N₂ setzt sich zusammen aus der verstärkten Eingangsseitig zugeführten Rauschleistung und der im Vierpol erzeugten Rauschleistung N_v:

N₂ = N₁G + N_v

Damit kann die Rauschzahl des linearen Vierpols dargestellt werden:

$F = \frac{G N_1 + N_v}{G N_1} = 1 + \frac{N_v}{G N_1}$

mit der durch den Vierpol zusätzlich eingebrachten Rauschzahl F_v:

$F_v = F - 1 = \frac{N_v}{G N_1}$

Bei idealen, rauschfreien Vierpolen ist N_v = F_v = 0. Demzufolge beträgt für das ideale, rauschfreie lineare Zweitor frequenzunabhängig die Rauschzahl 1.

Kaskade

Werden mehrere Vierpole als eine Kaskade in Reihe geschalten, dieses ist beispielsweise bei einer Aneinanderreihung von Verstärkern entlang einer längeren Leitung der Fall, lässt sich die Rauschzahl F_g einer Kaskade mit n Vierpolen verallgemeinern zu:

$F_{g} = 1 + (F_1 - 1) + \frac{F_2-1}{G_1} + \frac{F_3-1}{G_1\cdot G_2} + \frac{F_4-1}{G_1\cdot G_2\cdot G_3} + \cdots + \frac{F_n - 1}{G_1 G_2 G_3 \cdots G_{n-1}}$

Diese erweiterte Form der Rauschzahl wird auch als Friis-Formel bezeichnet.

Rauschtemperatur

Die Rauschzahl eines Vierpols lässt sich auch mit Hilfe der Rauschtemperatur ausdrücken:

$F = 1 + \frac{T_\mathrm{e}}{T_0}$

Dabei ist T₀ die Bezugstemperatur die für die Standard-Rauschzahl mit 290 K festgelegt ist. Ein idealer, rauschfreier Verstärker weist eine Rauschtemperatur von T_e=0 K auf, was einer Rauschzahl von 1 entspricht. Ein realer Verstärker, der sich beispielsweise auf einer Rauschtemperatur von T_e=290 K befindet, weist eine Rauschzahl von 2 auf, was bedeutet, dass sich das SNR am Ausgang des Verstärkers um 3 dB verschlechtert. Insbesondere für Eingangsverstärker und zur Erzielung eines hohen SNR ist es daher nötig, die Rauschtemperatur des Verstärkers möglichst niedrig zu halten.

Nicht-linearer Vierpol

Nichtlineare Vierpole können die Spektren von Nutzleistung und Rauschleistung am Zweitoreingang so verändern, dass durch Filtermaßnahmen in günstigen Fällen Rauschzahlen kleiner als 1 entstehen können. Ein typisches Beispiel ist ein Demodulator für frequenzmodulierte Nutzsignale, der für Signal-Rausch-Verhältnisse am Eingang oberhalb eines Schwellenwerts ein verbessertes Signal-Rausch-Verhältnis am Demodulatorausgang produziert.

Einzelnachweise

1. ↑ H.W. König: Die Rauschzahl linearer Vierpole und Verstärkerröhren. Tagungsband Frequenz, 1955, S. 3-11. 

Literatur

• Rodulf Müller: Rauschen. 2. Auflage. 15, Springer Verlag, 1989, ISBN 3-540-51145-8. 
• Curt Rint: Handbuch für Hochfrequenz- und Elektro- Techniker.. 12. Auflage. Hüthing und Pflaum Verlag GmbH, 1979, ISBN 3-8101-0044-7. 
• Jürgen Detlefsen, Uwe Siart: Grundlagen der Hochfrequenztechnik. 2. Auflage. Oldenbourg Verlag, München Wien 2006, ISBN 3-486-57866-9.