Bel (Einheit)

Einheit
Norm	Hilfsmaßeinheit
Einheitenname	Bel
Einheitenzeichen	B
Beschriebene Größe(n)	Pegel und Maße (Bedeutung beider Begriffe: siehe im Artikel Logarithmische Größe)
Größensymbol(e)	$L \,$ (Pegel), $A, \, G \,$ (Maße), u. a.
Dimensionsname	1 (dimensionslos)
Benannt nach	Alexander Graham Bell
Siehe auch: Neper (Hilfsmaßeinheit)

Das Bel (B) ist eine nach Alexander Graham Bell benannte Logarithmische Größe zur Kennzeichnung von Pegeln und Maßen (Bedeutung beider Begriffe: siehe im Artikel Logarithmische Größe) unter anderem in der Akustik und allgemein in der Technik.

Dabei handelt es sich um den dekadischen Logarithmus des Verhältnisses zweier gleichartiger physikalischer Größen.

In der Praxis ist die Verwendung des zehnten Teils eines Bels – des Dezibel (Einheitenzeichen dB) – üblich.

Definition von Bel und Dezibel

logarithmische Energieverhältnisse $L\;$ :
ausgedrückt mit Energie- (P) oder Feldgrößen- (x) Verhältnissen
 

$P_2/P_1\;$	$\tilde x_2/\tilde x_1$	$L\;$
10000	100	40 dB
100	10	20 dB
10	≈ 3,16	10 dB
≈ 4	≈ 2	6 dB
≈ 2	≈ 1,41	3 dB
≈ 1,26	≈ 1,12	1 dB
1	1	0 dB
≈ 0,79	≈ 0,89	−1 dB
≈ 0,5	≈ 0,71	−3 dB
≈ 0,25	≈ 0,5	−6 dB
0,1	≈ 0,32	−10 dB
0,01	0,1	−20 dB
0,0001	0,01	−40 dB

Bel und Dezibel wurden erstmals in der Telefonie als Dämpfungsmaß für die übertragene Schallleistung angewendet. Sie werden auch heute vorwiegend für im Verhältnis stehende gleichartige Leistungs- bzw. Energiegrößen angewendet. Werden solche Pegel oder Maße mit Verhältnissen von physikalischen Größen, die im Quadrat in Leistungs- bzw. Energiegrößen eingehen (zum Beispiel geht der Schalldruck quadratisch in die Schallleistung ein), ausgedrückt, ergibt sich der doppelte Bel- beziehungsweise Dezibel-Wert.

Definition für im Verhältnis stehende gleichartige Leistungs- bzw. Energiegrößen P₁ und P₂:

• $L = \lg \frac{P_2}{P_1} \,\,\mathrm{B} = 10 \lg \frac{P_2}{P_1} \,\mathrm{dB}$.

Für L ergibt sich z. B. der Wert 1 Bel (B), wenn das Leistungsverhältnis P₂ / P₁ = 10 ist. Das gebräuchlichere Dezibel (dB) wird mit Hilfe des Einheitenvorsatzes „Dezi“ (Symbol „d“) gebildet:

• $1\,\mathrm{dB} = \frac{1}{10}\,\mathrm{B}$.

Im Verhältnis stehende gleichartige Leistungs- bzw. Energiegrößen P₁ und P₂
in Abhängigkeit von zugehörenden Feldgrößen $\tilde x_1$ und $\tilde x_2$:

In linearen Systemen verhalten sich die Leistungs- bzw. Energiegrößen P proportional zu den Quadraten der einwirkenden Effektivwerte von Feldgrößen x (z. B. elektrische Spannung, Schalldruck), d. h.

• $P \sim \tilde x^2$.

Soll von Feldgrößen ausgehend ein Pegel oder Maß berechnet werden, geschieht dies über das Verhältnis der Quadrate dieser Größen und es gilt

• $L = 10 \lg \frac{P_2}{P_1} \,\mathrm{dB}= 10 \lg \frac{\tilde x_2^2}{\tilde x_1^2} \,\mathrm{dB}= 20 \lg \frac{\tilde x_2}{\tilde x_1} \,\mathrm{dB}$.

Durch die Quadrierung werden Pegelangaben für Energiegrößen und Feldgrößen direkt vergleichbar.

Zu beachten ist dabei, dass das Argument der lg-Funktion eine dimensionslose Größe sein muss, d. h. die Größen P₁ und P₂ bzw. $\tilde x_1$ und $\tilde x_2$ stets die gleiche Einheit haben müssen. Ein Beispiel für eine so definierte Größe ist der Schalldruckpegel.

Umrechnung in die Einheit Neper

Dezibel und Neper stehen in einem festen linearen Verhältnis zueinander:

• $L = 20 \lg \frac{\tilde x_2}{\tilde x_1} \,\mathrm{dB} = \ln \frac{\tilde x_2}{\tilde x_1} \,\mathrm{Np} \,$, wobei ln den natürlichen Logarithmus bezeichnet.

Durch Umstellen nach dB und Umrechnung der Logarithmenbasis folgt daraus:

• $1\,\mathrm{dB} = \frac{\ln \frac{\tilde x_2}{\tilde x_1}\,\mathrm{Np}}{\frac{20}{\ln 10} \ln \frac{\tilde x_2}{\tilde x_1}} = \frac{\ln 10}{20}\,\mathrm{Np} \approx \frac{1}{8{,}686}\,\mathrm{Np} \approx 0{,}115\,\mathrm{Np}$.

Dezibel und Neper, Historische Entwicklung

Obwohl nicht das Bel bzw. Dezibel, sondern das Neper die zum Internationalen Einheitensystem SI kohärente Hilfsmaßeinheit^[1] für logarithmische Verhältnisgrößen ist, wird in der Praxis überwiegend das Dezibel verwendet. Das hat zum einen historische Gründe:^[2] In den USA war bis 1923 als Einheit für das Dämpfungsmaß einer Fernsprechverbindung die Hilfsmaßeinheit „Mile Standard Cable“ (m.s.c.) in Verwendung. Diese Einheit entspricht dem Dämpfungsmaß eines bestimmten Kabeltyps („19 gauge“) bei einer Länge von einer englischen Meile und einer Frequenz von 800 Hz und gleichzeitig der mittleren subjektiven Wahrnehmbarkeitsschwelle beim Vergleich von zwei Lautstärken. Letzteres trifft ebenfalls für das Dezibel zu. Deshalb ergaben sich bei Verwendung des Dezibels in etwa die gleichen Zahlenwerte wie bei Verwendung von „Mile Standard Cable“ (1 m.s.c. = 0,9221 dB). Ein weiterer Grund für die bevorzugte Verwendung des Dezibels ist, dass sich einfache fassbare Zahlenwerte ergeben. So ist z. B. die Verdopplung der Leistung als Energiegröße eine Änderung von etwa 3 dB und die Verzehnfachung eine Änderung von 10 dB. Dagegen ist jedoch z. B. die Verdopplung der Spannung bzw. des Schalldrucks als Feldgröße eine Änderung von etwa 6 dB und die Verzehnfachung eine Änderung von 20 dB.

Verwendung mit anderen Maßeinheiten, Anhängsel

So wie jede andere Maßeinheit kann das Bel bzw. Dezibel zusammen mit anderen Maßeinheiten verwendet werden, wenn damit eine Größe beschrieben wird, bei der ein Pegel oder Maß durch Multiplikation oder Division mit einer anderen Größe verknüpft wird. Beispiele dafür sind das Dämpfungsmaß einer Leitung in Dezibel pro Meter (dB/m) oder der bezogene Schallleistungspegel einer ausgedehnten Schallquelle in Dezibel pro Quadratmeter (dB/m²).

Es ist zwar nach den für Größen geltenden Rechenregeln nicht korrekt, Anhängsel an eine Einheit anzubringen, um Informationen über die Art der betrachteten Größe mitzuteilen, doch sind solche Anhängsel beim Dezibel z. B. in den Empfehlungen der ITU^[3][4] noch gebräuchlich. Wegen der Eindeutigkeit und der möglichen Verwechslungsgefahr mit Einheitenprodukten (z. B. dB•m statt dBm) sind nach den Festlegungen in DIN, IEC und ISO-Normen diese Informationen stets mit der Größe und nicht mit der Einheit zu verknüpfen. Die geläufigsten Beispiele für dB-Anhängsel sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

Einheit mit Anhängsel (ITU)	Bedeutung	empfohlene Schreibweisen (DIN, IEC, ISO)
		Hinweis an der Größe	Hinweis am Einheitenzeichen
dBu	Spannungspegel mit der Bezugsgröße $\sqrt{600 \, \Omega \cdot 0{,}001\,\mathrm W}\, \approx 0{,}7746\,\mathrm V$	$L_u (\mathrm{re \, \, 0{,}775\,V}) = \dots\,\mathrm{dB}$	$L_u=\dots\,\mathrm{dB\,(0{,}775\,V)}$
dBV	Spannungspegel mit der Bezugsgröße 1 V	$L_V (\mathrm{re \, \, 1\,V}) = \dots\,\mathrm{dB}$	$L_V=\dots\,\mathrm{dB\,(V)}$
dBA	A-bewerteter Schalldruckpegel	$L_{pA} (\mathrm{re \, \, 20\,\mu Pa})= \dots\,\mathrm{dB}$	$L_p=\dots\,\mathrm{dB\,(A)}$
	A-bewerteter Schallleistungspegel	$L_{WA} (\mathrm{re \, \, 1\,pW})= \dots\,\mathrm{dB}$	$L_W=\dots\,\mathrm{dB\,(A)}$
dBm	Leistungspegel mit der Bezugsgröße 1 mW	$L_P (\mathrm{re \, \, 1\,mW}) = \dots\,\mathrm{dB}$	$L_P=\dots\,\mathrm{dB\,(1\,mW)}$
dBW	Leistungspegel mit der Bezugsgröße 1 W	$L_P (\mathrm{re \, \, 1\,W}) = \dots\,\mathrm{dB}$	$L_P=\dots\,\mathrm{dB\,(1\,W)}$
dBµ	Pegel der elektrischen Feldstärke mit der Bezugsgröße 1 µV/m	$L_E (\mathrm{re \, \, 1\,\mu V/m}) = \dots\,\mathrm{dB}$	$L_E=\dots\,\mathrm{dB\,(1\,\mu V/m)}$

Darüber hinaus existiert noch eine sehr große Anzahl weiterer Anhängsel, die in verschiedenen Fachgebieten uneinheitlich verwendet werden. Für viele Pegelgrößen existieren genormte Bezugswerte.

Anwendung

Beispiel für lineare Darstellung: Übertragungsfaktor uo / ui eines Butterworth-Filters 2. Ordnung Beispiel für Darstellung mit logarithmischer Größe: Übertragungsmaß A0 eines Butterworth-Filters 2. Ordnung

Die Angabe von Pegeln, Pegeldifferenzen, Pegelabständen und Maßen in Dezibel spielt in verschiedenen Fachgebieten eine Rolle. Vor allem in der Akustik und der Tontechnik, der Nachrichtentechnik und der Hochfrequenztechnik sowie in der Automatisierungstechnik haben die verwendeten Größen einen sehr großen Wertebereich. Die Angabe als logarithmische Verhältnisgröße in Dezibel erlaubt daher oft eine schnellere und anschaulichere Interpretation von Größen, da damit die betragsmäßigen Wertebereiche durch den Logarithmus auf wenige Dezimalstellen reduziert werden. Außerdem vereinfachen sich bestimmte Rechenoperationen, die in der Praxis oft vorkommen. So wird aus der Multiplikation von Verhältnisgrößen eine Addition, aus der Division eine Subtraktion.

Weiterhin entspricht die Angabe von Pegeln physikalischer Größen in Dezibel eher dem menschlichen Sinneseindruck, da dieser in etwa logarithmisch zur Intensität des physikalischen Reizes verläuft (Weber-Fechner-Gesetz). Das hat vor allem für die Akustik Bedeutung, wo auch die Maßeinheit der psychoakustischen Größe Lautstärke, das Phon durch eine Verknüpfung mit dem physikalischen Schalldruckpegel in Dezibel definiert ist.

Literatur

• Jürgen H. Maue, Heinz Hoffmann, Arndt von Lüpke: 0 Dezibel plus 0 Dezibel gleich 3 Dezibel. 8. Auflage. Erich Schmidt Verlag, Berlin 2003, ISBN 3-503-07470-8 (1. Auflage erschien 1975).

Einzelnachweise

1. ↑ DIN IEC 60027-3:2002 Formelzeichen für die Elektrotechnik Teil 3: Logarithmische und verwandte Größen und ihre Einheiten
2. ↑ DIN 5493-2:1994-9 Logarithmische Größen und Einheiten: Logarithmierte Größenverhältnisse – Maße, Pegel in Neper und Dezibel
3. ↑ ITU-T Recommendation B.12 (11/1988) Use of the decibel and the neper in telecommunications
4. ↑ ITU-R Recommendation V.574-4 (05/00) Use of the decibel and the neper in telecommunications

Weblinks

• Dezibel – Definition und Anwendung (PDF, ca. 140 KB)
• Der Dezibel-Rechner
• dB or not dB? Was Sie schon immer zum Rechnen mit dB wissen wollten… (PDF, ca. 700 KB)