PT2-Glied

PT₂-Glied im Strukturbild

Als PT₂-Glied bezeichnet man ein LZI-Übertragungsglied in der Regelungstechnik, welches ein proportionales Übertragungsverhalten mit Verzögerung 2. Ordnung aufweist. Gebräuchliche Beispiele sind in der Elektrotechnik der L-C-R-Schwingkreis und im Maschinenbau das Masse-Feder-System.

Die zugehörige Funktionalbeziehung im Zeitbereich ist die Differentialgleichung

$T^2 \ddot{y}(t) + 2 d T \dot{y}(t) + y(t) = K u(t)$,

so dass die komplexe Übertragungsfunktion im Bildbereich die Form

$G(s) = \frac{K}{1 + 2 d T s + T^2 s^2}$

hat. Hierbei bezeichnet K, K > 0, die Übertragungskonstante bzw. den Verstärkungsfaktor, T , T > 0, die Zeitkonstante und d, d > 0, die dimensionslose Dämpfung.

Bodediagramm

Beim PT₂-Glied ist $G(j\omega) = \frac{K}{1 + 2 d T j\omega - T^2 \omega^2}$ der Frequenzgang. Daher gilt für den Amplituden- und Phasengang im Bodediagramm:

$|G(j\omega)| = \frac{K}{\sqrt{(1 - T^2 \omega^2)^2 + (2 d T \omega)^2}}$

$\varphi(\omega) = -\arctan \left( \frac{2 d T \omega}{1 - T^2 \omega^2} \right)$

Die folgende Abbildung zeigt den Amplituden- und Phasengang. Typisch für ein PT2-System ist der Abfall der Amplitude um 40 dB je Dekade. Auch ist die Phasenverschiebung von 180° kennzeichnend. An der Überhöhung im Amplitudengang kann man erkennen, dass für die Dämpfung d 0 < d < 1 gelten muss. Keine Überhöhung bedeutet eine Dämpfung d $\geq$ 1. Bei der Kennkreisfrequenz ist die Phasenverschiebung 90°.

Bodediagramm eines PT₂-Gliedes (K = 2, T = 1, d = 0.2; 1; 5)

Sprungantwort

Zur Beschreibung der Sprungantwort des PT₂-Gliedes ist eine Fallunterscheidung erforderlich:

• d > 1, aperiodischer Fall
  $a(t) = K - \frac{K}{T_1 - T_2} \left[ T_1 \mathrm{e}^{- \frac{t}{T_1}} - T_2 \mathrm{e}^{- \frac{t}{T_2}}\right]$
  mit $T_{1,2} = \frac {T} {\left( d \pm \sqrt{d^2 - 1} \right)}$
  Bei einem stark gedämpften System nähert sich die Sprungantwort dem Wert des Verstärkungsfaktors ohne Überschwingen an.

• d < 1, periodischer Fall
  $a(t) = K - \frac{K}{\sqrt{1 - d^2}} \mathrm{e}^{-\frac{d}{T}t} \cdot \sin \left[ \frac{\sqrt{1 - d^2}}{T} t + \arctan \frac{\sqrt{1 - d^2}}{d} \right]$
  Bei einem schwach gedämpften System nähert sich die Sprungantwort dem Wert des Verstärkungsfaktors erst nach Abklingen der Schwingungen an. Die Schwingungen werden von einer weiteren e-Funktion eingehüllt.

• d = 1, aperiodischer Grenzfall
  $a(t) = K - K \left[ 1 + \frac{t}{T} \right] \mathrm{e}^{- \frac{t}{T}}$
  Der Verlauf der Sprungantwort ist ähnlich dem aperiodischen Fall mit dem Zusatz, dass er bezüglich der Anregel- und Ausregelzeit minimale Werte annimmt (ohne Überschwingen).

Sprungantwort eines PT₂-Gliedes (K = 2, T = 1, d = 0.2; 1; 5)

Ortskurve

Die Ortskurve ($0 \leq \omega \leq \infty$) des PT₂-Gliedes verläuft vom Punkt K auf der positiven reellen Achse in Abhängigkeit von der Dämpfung d durch den vierten und dritten Quadranten für $\omega \to \infty$ aus Richtung der negativen reellen Achse in den Punkt 0.

Ortskurve eines PT₂-Gliedes (K = 2, T = 1, d = 0.2; 1; 5)

Siehe auch

• Regler
• P-Glied
• I-Glied
• D-Glied
• PT1-Glied
• PID-Regler
• Totzeit-Glied

Weblinks

• Java-Applet zum PT₂-Glied