Polygonzug

Ein Polygonzug (manchmal auch als Linienzug oder Streckenzug bezeichnet) ist die Spur eines Weges, der sich aus endlich vielen Geradenstücken zusammensetzt. Polygonzüge dienen der Koordinatenbestimmung mehrerer Neupunkte in einem Arbeitsgang. In der Geodäsie und im Bauwesen sind Polygonzüge die wichtigsten Messlinien für terrestrische Detailvermessungen.

Ein Polygonzug (A-B-C-D-E) zum Vermessen eines Straßenstücks

Etymologie

Das Wort leitet sich aus griech. „polys“ = „viel, mehr“ und „gony“ = „Eck, Knie“ her, die zur Bildung „Polygon“ = „Vieleck“ führen.

Prinzip der Polygonzugmessung

Ein Polygonzug hat folgende Elemente: die Polygonpunkte PP , die Polygonseiten s_i und die Brechungswinkel β_i. Die Brechungswinkel werden mit einem Winkelmessinstrument (z. B. einem Theodolit), die Horizontalstrecken mit einem Längenmessgerät gemessen - Instrumente, die beides messen können werden Tachymeter genannt. Aus den Brechungswinkeln und den Strecken können die Koordinaten der einzelnen Polygonpunkte durch fortgesetztes polares Anhängen berechnet werden.

Die einzelnen Teilstrecken sind – je nach Gelände, Bebauung oder geforderter Genauigkeit – etwa 50 bis 200 Meter lang. Die Polygonpunkte werden im Boden durch Pflöcke oder Metallstifte vermarkt, um sie auch für spätere Vermessungen oder fallweise Kontrollen nutzen zu können. Über den Bodenpunkten wird auf einem wetterfesten Stativ der Theodolit bzw. das Tachymeter aufgestellt und exakt zentriert, so dass die genauen Brechungswinkel und Strecken gemessen werden können. Neben den elektronischen Messinstrumenten werden bisweilen auch der Messtisch oder Theodolit und Maßband verwendet. Die übliche Genauigkeit liegt im mm-Bereich, bei speziellen Anforderungen (mittels Zwangszentrierung) auch darunter.

Polygonzugarten

In der Geodäsie unterscheidet man mehrere Arten von Polygonzügen:

offene Polygonzüge

• Zug mit einseitigem Koordinaten- und Richtungsanschluss, ohne Koordinaten- und Richtungsabschluss (kein Endpunkt)
• Zug mit einseitigem Koordinaten- und zweiseitigem Richtungsanschluss
• Zug mit einseitigem Koordinatenanschluss, ohne Richtungsabschluss (kein Fernziel für den Endpunkt)
• Zug mit beidseitigem Richtungs- und Koordinatenanschluss (voll angeschlossener Zug)

geschlossener Polygonzug

• Ringpolygon (Anfangs- und Endpunkt sind identisch)

Polygonnetze

Polygonnetze entstehen durch die Verknotung mehrerer Polygonzüge.

Anwendungsgebiete

Polygonzüge sind wichtige Messungslinien in der Geodäsie. Die Polygonpunkte dienen als Messpunkte, mit denen das Netz der amtlichen Festpunkte weiter verdichtet wird, indem zwischen deren bekannten Koordinaten die PP als Zwischenpunkte eingerechnet werden. Sie werden auch zur Vermessung von Gebäuden, von großen Maschinen und von Bergwerken verwendet (siehe Markscheidewesen). Polygonzüge dienen zur Bestimmung von Aufnahmepunkten für die Objektvermessung (z. B. Orthogonalwinkelaufnahme, Polaraufnahme, Grenzpunkte), sowie für topographische Vermessung (z. B. Polaraufnahme bei Geländepunkten) und Absteckungsaufgaben.

Anforderungen

Von den Neupunkten (Polygonpunkte) aus sollte möglichst viel vom aufzunehmenden Gebiet erfasst werden, die Polygonseiten sollten möglichst gestreckt und gleichlang sein. Zweckmäßigerweise werden die Neupunkte für Nachmessungen vermarkt.

Mathematische Definition

Sei V ein $\mathbb{R}$-Vektorraum und $t_0, t_1, \dots t_n \in V$ endlich viele Punkte. Dann heißt die Menge $\bigcup_{k=1}^n \left\{ \alpha \cdot t_{k-1} + (1 - \alpha) \cdot t_k, \; \alpha \in [0,1] \right\}$ Polygonzug. Die Punkte $t_0, t_1, \dots, t_n$ werden als Ecken des Polygonzuges bezeichnet.

Bemerkungen

• Ein Polygonzug mit $V = \mathbb{R}^2$ und t₀ = t_n wird als geschlossener Polygonzug bezeichnet. Der Rand eines ebenen Polygons besteht aus einem geschlossenen Polygonzug.
• Polygonzüge bilden die Grundlage zur Berechnung der Länge eines Weges, siehe rektifizierbarer Weg.

Siehe auch

• Netzausgleichung, Vermessungsnetz, Exzenter
• Abschlussfehler, Fehlerfortpflanzung
• Richtungskontrolle mit Fernziel, Sonnen- oder Kreiselazimut