Reflexionskoeffizient (Wasserwellen)

Der Begriff Reflexionsfaktor (auch Reflexionskoeffizent) ist das Verhältnis zwischen reflektierter und einfallender Amplitude als Feldgröße. Er wird in der Physik verwendet, um die Reflexion von Wellen zu beschreiben, unter anderem bei der Beschreibung der Reflexion von elektromagnetischen Wellen in der Optik und Elektrotechnik (insbesondere in der Nachrichtentechnik und Hochfrequenztechnik) sowie von Wasserwellen.

Elektromagnetische Wellen

Der Reflexionsfaktor elektromagnetischer Wellen wird im Allgemeinen als Verhältnis der Amplituden der elektrische Feldstärke E der einfallenden und reflektieren Welle definiert.

$r=\frac{E_r}{E_0}$

Im Falle der gerichteten Reflexion können der Reflexionsfaktor sowie der Transmissionsfaktor über die fresnelschen Gleichungen, dem snelliussche Brechungsgesetz und den Brechzahlen der beteiligten Materialien berechnet werden.

Im Gegensatz zum Reflexionsfaktor r bezieht sich der Reflexionsgrad $\varrho$ auf die Amplitude einer Größe. Der Reflexionsgrad $\varrho$ entspricht dem Quadrat des Reflexionsfaktors r:

$\varrho = r^2$

Für komplexe Größen, wie sie bei der Reflexion von Licht mit absorbierenden Medien auftreten, entspricht der Reflexionsgrad $\varrho$ dem Produkt aus Reflexionsfaktors r mit seinem konjugiert komplexen Wert r^*:

$\varrho = r \cdot r^*$

Elektrotechnik

Reflexion in Leitungen

Bei der Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen auf Leitungen entsteht am Leitungsende eine Reflexion, wenn die dort angeschlossene Schaltung eine vom Wert des Leitungswellenwiderstands Z_l abweichende Eingangsimpedanz Z_a besitzt. Das Verhältnis von reflektierter zu hinlaufender Spannungswelle wird als Reflexionsfaktor bezeichnet und wird nach folgender Gleichung berechnet ^[1]:

$r = \frac{U_r}{U_h} = \frac{Z_a - Z_l}{Z_a + Z_l} \qquad |r| \le 1$

Dabei bedeuten

• Z_l: der Wellenwiderstand der Leitung,
• Z_a: der Eingangswiderstand der am Leitungsende angeschlossenen Schaltung.
• U_h: die Spannung der hinlaufenden Welle
• U_r: die Spannung der rücklaufenden Welle

Für Z_a = Z_l wird der Reflexionsfaktor zu Null. Dieser Zustand wird angestrebt, weil dann die maximale Leistung übertragen wird. Man spricht dann von Impedanzanpassung oder Leistungsanpassung. Das ist bei komplexen, zusammengeschalteten Baugruppen und Geräten in der Praxis nicht komplett zu erreichen. Da zudem üblicherweise ein Frequenzband übertragen wird, ist die Impedanzanpassung bei frequenzabhängigen Widerständen nur für eine Frequenz (typischerweise die Träger- oder Mittenfrequenz) mit Hilfe von Resonanztransformatoren möglich.

Reflexionsfaktor und Rückflussdämpfung

Insbesondere bei der Beschreibung von Leitungseigenschaften wird häufig der Begriff der Rückflussdämpfung R verwendet. Der Rückflussdämpfungsfaktor bezeichnet das Verhältnis von gesendeter Leistung zu reflektierter Leistung. Da die Leistung proportional zum Betragsquadrat der Spannung ist, kann der Rückflussdämpfungsfaktor durch den Reflexionsfaktor ausgedrückt werden:

$R = \frac{P_h}{P_r} = \left|\frac{U_h}{U_r}\right|^2 = \frac{1}{\left|r\right|^2} \,$

Wenn man den Rückflussdämpfungsfaktor logarithmiert, erhält man das Rückflussdämpfungsmaß, das üblicherweise in der Pseudoeinheit Dezibel (dB) angegeben wird:

$\begin{align} a &= 10\,\mathrm{dB} \cdot \lg R \\ &= -20\,\mathrm{dB} \cdot \lg \left|r\right| \\ &= -20\,\mathrm{dB} \cdot \lg \left| \frac{Z_a - Z_l}{Z_a + Z_l} \right| \end{align}$

Leistungstheorie

In der Leitungstheorie ist der Reflexionskoeffizient Γ definiert als:

$\Gamma=\frac{E_1^-}{E_1^+}=\frac{Z_{w2}-Z_{w1}}{Z_{w2}+Z_{w1}}$

Er tritt überall dort auf, wo eine Welle auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien (1 und 2) mit unterschiedlichen Materialeigenschaften stößt. Dabei ist $E_1^-$ der Phasor der reflektierten Welle und $E_1^+$ die einlaufende Welle des Mediums 1. Z_wi ist dabei gerade die Wellenimpedanz des Mediums i. Der Reflexionskoeffizient ist dimensionslos.

Hingegen ist der Transmissionskoeffizient T definiert als:

$T=\frac{E_2^+}{E_1^+}=\frac{2 Z_{w2}}{Z_{w2}+Z_{w1}}$

T kann auch aus Γ wie folgt gewonnen werden: T = 1 + Γ

Wasserwellen

Reflexionskoeffizient C(f)

Reflexionskoeffizient C(x)

Bei monochromatischen Wasserwellen ist der Reflexionskoeffizient als Quotient aus der Höhe der reflektierten Welle H_r und der Höhe der anlaufenden Welle H_i definiert.

C_r = H_r / H_i < 1

Er kann versuchstechnisch aus den resultierenden Wasserspiegelauslenkungen der an einem Bauwerk partiell stehenden Welle ermittelt werden.

$C_\mathrm{r} = \frac{H_\mathrm{r}}{H_\mathrm{i}} = \frac{H_{\max}-H_{\min}}{H_{\max}+H_{\min}}$

Darin bedeuten:

• H_max = H_i + H_r
• H_min = H_i − H_r.

Für die Analyse der frequenzabhängigen Reflexion von Wellenspektren seeseitig eines Bauwerkes können für definierte Frequenzbänder i an Stelle der überlagerten vertikalen Wasserspiegelauslenkungen auch die Extremwerte der integrierten Energiedichte E_max,i und E_min,i verwendet werden.

$C_{\mathrm{r},i} = \frac{\sqrt{E_{\max, i}}-\sqrt{E_{\min ,i} }}{\sqrt{E_{\max ,i}} + \sqrt{E_{\min, i}}}$

mit

• E_max,i = Betrag des Energiemaximums der zur Partialwelle beitragenden Frequenzkomponenten am Schwingungsbauch und
• E_min,i = Betrag des Energieminimums der zur Partialwelle beitragenden Frequenzkomponenten am Schwingungsknoten.

Einzelnachweise

1. ↑ Klaus Ruppert: Interaktives Lehrbeispiel in JAVA zum Verhalten elektrischer Leitungen. Diplomica Verlag, Hamburg 1998 (Diplomarbeit, Fachhochschule Gießen-Friedberg, 1998, Kapitel 10.5 Der Reflexionsfaktor)

Siehe auch

• Smith-Diagramm

Literatur

• Akustische Wellen und Felder - Abschnitt 5.1.15 - DEGA-Empfehlung 101

Siehe auch

• Reflexionsgrad
• Streuparameter
• Fresnelsche Formeln