Wasserwelle

Bei Wasserwellen handelt es sich im weitesten Sinne um Oberflächenwellen an der Grenzfläche zwischen Wasser und Luft. Nach Munk sind damit alle an der Wasseroberfläche wahrnehmbaren Wasserspiegelauslenkungen mit Perioden von Zehntelsekunden bis Stunden (Gezeitenwelle) gemeint.

Klassifikation der Meereswellen nach Munk: Bezeichnungen, anregende Kräfte und relative Amplituden

Wasserwellen sind gekennzeichnet durch ausladende Täler und spitze Kämme. Das Bild zeigt eine von links nach rechts laufende Welle kurz vor dem Überschlagen.

Audioaufnahme von Meereswellen die auf Land laufen

Satellitenaufnahme von Meereswellen (links)

Die Amsterdam-Insel im Indischen Ozean wirkt als Strömungshindernis und erzeugt Oberflächenwellen

Schwerewellen in der Straße von Messina

Bei Wellenlängen kleiner 2 cm bestimmt die Oberflächenspannung des Wassers (oder allgemeiner der Flüssigkeit) die Eigenschaften der Kapillarwellen. Bei größeren Wellenlängen sind die Massenträgheit, die Erdanziehungskraft und die dadurch bedingten Druck- und Bewegungsänderungen bestimmend für die Eigenschaften der Schwerewelle.

Wellenentstehung

Ins Wasser geworfene Steine und Strömungshindernisse erzeugen Wellen, fahrende Schiffe begleitet eine Bugwelle. Seebeben können Tsunamis hervorrufen. Auf letztere sowie auf Gezeitenwellen soll an dieser Stelle kein weiterer Bezug genommen werden, sondern vorzugsweise wind-erzeugte Oberflächenwellen des Meeres in Abhängigkeit von der Wassertiefe behandelt werden.

Wellenentstehung durch Wind

Schemazeichnung zur Entstehung von Wellen durch Wind

Das linke Bild veranschaulicht die Entstehung durch Wind. Dieser strömt von links über eine ruhende Wasserfläche. An der Wasseroberfläche müssen sich die unterschiedlichen horizontalen Geschwindigkeiten von Wind und Wasser angleichen. Die Grenzfläche wird durch eine unstetige Potentialströmung gebildet. Dazu stellt man sich vor, dass die Anpassung durch kleine Wirbel vermittelt wird, in der Abbildung durch Kreise angedeutet. Den Drehsinn zeigt der vergrößerte Kreis unten. Zu einer wirbelfreien Potentialfläche gelangt man, wenn die Wirbel immer kleiner gewählt werden.

Die Grenzfläche ist äußerst instabil. Kleine Störungen, wie links im Bild durch eine kleine Erhebung angedeutet, stauchen die Stromlinien des Windes. Dadurch verringert sich der Druck (Strömung nach Bernoulli und Venturi) und der Wellenberg vergrößert sich.

Die Wellenbildung erfolgt wegen des großen Dichteunterschieds von Wasser und Luft unsymmetrisch. Ein Beispiel für die Ausbildung einer symmetrischen Grenzfläche bei Wasser mit nur geringfügig unterschiedlicher Dichte zeigt das Radarbild (rechts oben). Von links strömt oben warmes Meerwasser an kaltem Wasser (unten) vorbei. An der Grenzfläche bilden sich mittelgroße Wirbel (Englisch eddies), in die das kalte Wasser von unten und das warme Wasser von oben einströmen.

Das Bild (rechts oben) zeigt eine Satellitenaufnahme des indischen Ozeans. Die feinen Strukturen sind Oberflächen-Wasserwellen, während die Strukturen mit den größeren Wellenlängen oben rechts von Grenzflächenwellen zwischen Wasserschichten unterschiedlicher Temperatur herrühren.

Soweit der Wind (Sturm) als maßgebliche Ursache für die Entstehung großer Wellen verantwortlich ist, so geschieht dies dadurch, dass an der Grenzfläche Luft-Wasser Schubspannungen übertragen werden. Durch örtlich unterschiedliche Zerrungen und Stauchungen entstehen Wasserspiegelauslenkungen, die sich als Wellen fortbewegen. Dabei wird Windenergie in die Wasseroberfläche eingeleitet, solange die Windgeschwindigkeit größer als die Wellenfortschrittsgeschwindigkeit ist. Im Entstehungsgebiet des Seegangs sind als Einflussgrößen zu unterscheiden:

• die Streichlänge (Fetch) F = Einwirkungsdistanz des Windes an der Wasseroberfläche,
• die Windgeschwindigkeit U und
• die Winddauer als sogenannte Ausreifzeit D_min des Seegangs.

Ihr Zusammenwirken entscheidet über die Größe der Wellen und über ihre Gestalt. Je größer eine dieser Einflussgrößen, desto größer die Wellen. In Flachmeeren hat die Wassertiefe begrenzenden Einfluss.
Der entstehende Seegang ist charakterisiert durch:

• die Wellenhöhen,
• die Wellenlängen,
• die Wellenperioden und
• die Wellenfortschrittsrichtung (bezogen auf die Nordrichtung).

In einem vorgegebenen Seegebiet kommen Wellen mit unterschiedlichen Bandbreiten von Höhen und Perioden vor. Für die Wellenvorhersage sind als charakteristische Angaben definiert:

• die signifikante Wellenhöhe H_S = H_{1 / 3} und
• die signifikante Wellenperiode T_S = T_{1 / 3} .

Beide beziehen sich auf die über einen vorgegebenen Zeitraum beobachteten Wellen und stellen als statistische Größen jeweils Mittelwerte für das Drittel der höchsten Wellen des Kollektivs dar.

Struktur und Eigenschaften

Geometrie einer trochoidalen Tiefwasserwelle: Zur Definition der Wellenhöhe H, der Wellenlänge L, des Ruhewasserspiegels, der horizontalen und der vertikalen Wellenasymmetrie.

Wellenhöhe, Wellenlänge, Wellensteilheit

Wasserwellen weichen in ihrer Gestalt von der regelmäßigen Kosinusform insofern ab, als sie sowohl horizontal als auch vertikal asymmetrisch sind. Ihre maximale Auslenkung von einem gedachten Ruhewasserspiegel nach oben (positiv) wird als Wellenkamm bezeichnet und ihre maximale Auslenkung nach unten (negativ) als Wellental. Die Wellenhöhe ist als Summe der Beträge beider benachbarter Maximalauslenkungen definiert.

H = H_o + H_u

Dabei übertrifft die maximale positive Wasserspiegelauslenkung in ihrem Betrage umso mehr die maximale negative Wasserspiegelauslenkung, je geringer die Wassertiefe wird. Bei Wellen im Flachwasserbereich kann die Höhe des Wellenberges bis zu 3/4 der gesamten Wellenhöhe H ausmachen, während das Wellental H/4 unter dem Ruhewasserspiegel liegt. Als Wellenlänge, (Symbol L), wird die Summe ihrer ungleichen auf den Ruhewasserspiegel bezogenen Teillängen des Kammbereiches und des Talbereiches bezeichnet, vergl. Bild rechts. Es ist

L_B < L_T $\qquad$ und

L = L_B + L_T .

Der Quotient aus Wellenhöhe und Wellenlänge ist ein wichtiges Kennzeichen für die Beurteilung der Stabilität der Wellen und wird als Wellensteilheit S bezeichnet.

S = H / L .

Nach Stokes (1847) gilt für Wellen über einer Wassertiefe d > L / 2 der theoretische Grenzwert maxS = 1 / 7. Tatsächlich erfolgt das Wellenbrechen aber bereits bei S = 1 / 10. Auf dem freien Ozean herrschen Wellensteilheiten zwischen 1 / 100 < S < 1 / 50 vor. Für den Flachwasserbereich haben Naturmessungen die Formel von Michell bestätigt, in der auch die begrenzende Wirkung des Meeresbodens berücksichtigt ist.

$\text{Grenzsteilheit:} \quad \max\left(\frac{H}{L}\right) = 0{,}142\, \tanh{\Bigl(\frac{2 \pi d}{L}\Bigr)}$

Seit dem 19. Jahrhundert ist die asymmetrische Form natürlicher Wasserwellen neben Gerstner (1804) vor allem von Stokes (1847) mit immer größerem mathematischen Aufwand beschrieben worden. Für praktische Abschätzungen wird dessen ungeachtet aber noch immer häufig die Lineare Wellentheorie nach Airy-Laplace (1845) verwendet, die von der regelmäßigen Sinus-Form ausgeht.

Orbitalbewegung

Trochoidale Tiefwasserwelle: Momentane Richtungen der Orbitalgeschwindigkeit $w =\frac{2\cdot \pi \cdot r}{T} =\frac{ \pi \cdot H}{T}$ an verschiedenen Positionen der Wellenoberfläche.

Tiefwasserwelle nach Stokes: Orbitalbahnen der Wasserteilchen beginnend an zwei Positionen mit dem Abstand einer halben Wellenlänge.

Nach den Wellentheorien von Gerstner und Airy-Laplace werden über großer Wassertiefe die Wasserteilchen beim Passieren einer Welle näherungsweise auf Kreisbahnen (Orbitalbahnen) bewegt, deren Radien im Strömungsfeld unterhalb der Wasseroberfläche bis zu einer Tiefe, die etwa der halben Wellenlänge entspricht, nach einem Exponentialgesetz etwa auf Null abnehmen.
Dabei ist die Kreisperiode T (= 1/f; Kehrwert der Frequenz f) die Umlaufzeit, die dem Vorrücken der Welle um eine volle Wellenlänge L entspricht. Somit ist die Orbitalgeschwindigkeit an der Wasseroberfläche

$w = \frac{2\cdot \pi \cdot r}{T}$

und die Wellenfortschrittsgeschwindigkeit

$c = \frac{L}{T}$.

Demgegenüber sind die Bahnlinien der Wasserteilchen gemäß der Theorie von Stokes nach einer Wellenperiode nicht geschlossen. Nach dieser Theorie ist der zirkularen Orbitalbewegung eine horizontale Driftgeschwindigkeit U in Richtung der Wellenfortschrittsgeschwindigkeit c überlagert, die Massentransportgeschwindigkeit genannt wird. In der nebenstehenden Animation bezeichnen die roten Punkte die augenblicklichen Positionen der masselosen Teilchen, die sich mit der Strömungsgeschwindigkeit bewegen. Die hellblauen Linien sind die Bahnlinie dieser Teilchen und die hellblauen Punkte bezeichnen die Partikelpositionen nach jeder Wellenperiode. Die weißen Punkte sind gleichsinnig bewegte Flüssigkeitsteilchen. Man beachte, dass sich die Wellenperiode der Flüssigkeitsteilchen nahe der freien Oberfläche von derjenigen bezüglich einer festen Position (bezeichnet durch die hellblauen Punkte) unterscheidet. Dies ist auf den Dopplereffekt zurückzuführen.
(zu ergänzen für begrenzte Wassertiefe)

Dispersion und Gruppengeschwindigkeit

c(L,d)

c(f,d)

Dispersion in bichromatischen Gruppen von Schwerewellen an deren Oberfläche über Tiefwasser. Der rote Punkt bewegt sich mit Phasengeschwindigkeit, und die grünen Punkte mit Gruppengeschwindigkeit.

Schwerewellen

Während die Wellenfortschrittsgeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) c = L / T für alle Wellenarten zutrifft, gilt für Schwerewellen zusätzlich die Dispersionsrelation, die neben der Wellenlänge L auch die Wassertiefe d als Variable enthält

(1) $c = \sqrt{\frac{g\cdot L}{2\pi}\tanh{\left(\frac{2\pi d}{L}\right)}}$

π: Kreiszahl (3,14…)

g: Erdschwerebeschleunigung (9,81 m/s²)

Die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge bzw. der Frequenz zeigen die beiden Abbildungen rechts. Zusätzlich ist die Abhängigkeit von der Wassertiefe d angegeben.
Wie in anderen Bereichen der Physik kommen auch Wasserwellen nicht als einzelne monochromatische Wellen vor sondern stets als Überlagerung mehrerer Komponentenwellen benachbarter Frequenzen. Als Folge treten Schwebungen auf, die sich als Wellenpakete oder Wellengruppen mit der Gruppengeschwindigkeit nach Rayleigh

(2) $c_\mathrm{g} = c- L \cdot \frac{\mathrm dc}{\mathrm dL}$

fortbewegen. Hierin ist dc / dL die Dispersion der Phasengeschwindigkeit. Je nach Vorzeichen und Betrag des Differentialquotienten ist die Gruppengeschwindigkeit kleiner, größer oder gleich der Phasengeschwindigkeit. Aus historischen Gründen haben sich in der Optik dafür die Bezeichnungen normale Dispersion: dc / dL > 0 und anomale Dispersion: dc / dL < 0 eingebürgert. Hier gilt

$\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} \ge 0$ (normale Dispersion).

Näherung: Die Wellenlängen sind klein relativ zur Wassertiefe (Tiefwasserwellen)

Für Gewässer mit einer Tiefe von mindestens einer halben Wellenlänge (d $\ge$ L / 2) nähert sich tanh(x) in (1) dem Wert 1. Dann beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit c:

(3) $c \approx \sqrt{ \frac{g L}{2\pi}}$ für L $\le$ 2d

oder mit c = L/T:

$c = L \cdot f \approx \sqrt{ \frac{g L}{2\pi}}$

Bezeichnet T die Periode mit der Frequenz f = 1 / T, folgt mit c = L / T aus (3):

(4) $\frac{1}{f} = T \approx \sqrt{\frac{2\pi\cdot L}{g}}$

Die Dispersion wird maximal, die Phasengeschwindigkeit ist von der Wassertiefe unabhängig:

$\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = \sqrt{\frac{g}{8\pi\cdot L}} \quad\text{bzw.}\quad \frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = \frac{-g}{2\pi f^2}$

Aus (2) ergibt sich die Gruppengeschwindigkeit c_g zu

$c_\mathrm{g} = 0{,}5\,c$

Wellen mit großen Wellenlängen breiten sich schneller aus und besitzen eine größere Periode als solche mit kleinen Wellenlängen. Bei einer Wellenlänge von 1 km beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit ca. 140 km/h und die Periode 25 s, bei einer Wellenlänge von 100 m ca. 50 km/h und 8 s. Aufgrund der o.a. Dispersionsrelation müssen sich Wellenpakete, die das Gebiet ihrer Erzeugung verlassen, in der Art verändern, dass die längsten Wellenkomponenten an einem vorgegebenen Ort zuerst ankommen. Da zusätzlich die kurzperiodischen Wellen stärker gedämpft werden, nimmt man Sturmwellen in entfernten Gebieten als langperiodische Dünung wahr.

Näherung: Die Wellenlängen sind groß relativ zur Wassertiefe (Flachwasserwellen)

Bei Wellenlängen, die größer sind als die Wassertiefe (L > 20d), hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit nur von der Tiefe d ab, nicht mehr von der Wellenlänge. Für kleine x gilt $\tanh (x)\approx x$ und damit erhält man aus (1)

(5) $c \approx \sqrt{g d}$ für $d< \frac{L}{20}$

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit zeigt keine Dispersion, das heißt sie ist unabhängig von der Wellenlänge. Deshalb ist die Phasengeschwindigkeit genauso groß wie die Gruppengeschwindigkeit:

$\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = 0 \quad \text{bzw.} \quad \frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = 0$

$c = L \cdot f = \sqrt{g \cdot d}$

$c_g=c\,$

Kapillarwellen

Bei Wellenlängen kürzer als einige Zentimeter bestimmt die Oberflächenspannung die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Für Kapillarwellen gilt:

$c = L \cdot f = \sqrt{\frac{2\pi\eta}{\rho L}} = \left(\frac{2\pi\eta f}{\rho}\right)^{1/3}$

Darin bedeuten η die Oberflächenspannung und ρ die Dichte der Flüssigkeit. Die Dispersion von Kapillarwellen ist kleiner als Null und deshalb anomal

$\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = \frac{-\left(2\pi\eta L\right)^{-1/2}}{2L} \quad \text{bzw.} \quad \frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = \frac{2\pi\eta}{3\rho} \cdot \left(\frac{2\pi\eta f}{\rho}\right)^{-2/3}$

Welleneffekte

Reflexion

Kreiswellen werden am Rand reflektiert und überlagern sich

Heckwelle eines Schiffes.

Wasserwellen laufen parallel zum Strand auf

Wellenreflexion bedeutet bei fortschreitenden Wasserwellen das Zurückwerfen eines Teils ihrer Energie (Wellenenergie) an einem Bauwerk (Wellenbrecher, Ufermauer, Uferböschung) oder an Orten, wo sich die Konfiguration des natürlichen Meeresgrundes (stark) ändert. Entsprechend dem Reflexionsgesetz der Optik. wird zugleich ein anderer Anteil der Wellenenergie fortgeleitet und der restliche Anteil durch die Prozesse des Wellenbrechens, der Flüssigkeits- und Bodenreibung etc. dissipiert bzw. absorbiert, vergl. Wellentransformation, Wellenabsorption.

Refraktion

Unter Refraktion wird eine von der Wassertiefe abhängige Änderung der Wellenlaufrichtung verstanden. Bei flach ansteigenden Stränden führt ihre Wirkung dazu, dass sich Wellenfronten zunehmend parallel zur Uferlinie einbeugen und der Beobachter am Strand die (nicht notwendigerweise brechenden) Wellen auf sich zukommen sieht. Wie bei der Brechung des Lichts ist auch hier das Snelliussche Brechungsgesetz auf der Grundlage des Huygensschen Prinzips anwendbar.

Diffraktion

Unter Diffraktion wird die Beugung von Wellenfronten an den Enden von Inseln bzw. an den Kanten von Bauwerken verstanden. Wie bei der Beugung des Lichtes an Kanten ist auch hier das Huygenssche Prinzip anwendbar. Bei Schutzbauwerken (Wellenbrechern und Molen) hat die Diffraktion der Wellenfronten die Folge, dass ein Teil der Energie der anlaufenden Wellen auch hinter das Schutzbauwerk bzw. in den durch Molen gegen Wellenwirkungen zu schützenden Bereich einer Hafeneinfahrt gelangt.

Wellenbrechen

Wellenbrechen bezeichnet den kritischen Grad der Wellentransformation, bei dem die Oberflächenspannung am Wellenkamm überwunden wird, die Orbitalbewegung ihre charakteristische Form verliert und aus der Wellenkontur austretendes Wasser in den Vorderhang fällt. Hinsichtlich ihrer Geometrie können etwa vier Brecherformen unterschieden werden.

Beispiele für das Verhalten von Wellen beim Auflaufen auf einen Strand

Beispiel 1: Wellenbrechen

Nähert sich eine Welle einem langsam ansteigenden Ufer, verringert sich mit abnehmender Wassertiefe die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellenfront. Die nachfolgenden Wellen überrollen die Wellenfront, bis auch sie abgebremst werden. Die Wellenlänge nimmt ab, als Folge der Energieerhaltung vergrößert sich die Wellenhöhe bis das Wellenbrechen eintritt.

Beispiel 2: Refraktion

Nähert sich eine Wellenfront einem langsam ansteigenden Ufer im schrägen Winkel, verlangsamen sich die Wellen im flachen Bereich. Die weiter außerhalb liegenden behalten ihre Geschwindigkeit bei. Ähnlich wie bei der Brechung von Licht an Glas dreht sich dadurch die Wellenfront, bis sie parallel zur Strandlinie verläuft.

Grenzflächenwellen

Oberflächenwellen auf einem See

Bei den Betrachtungen oben gehen nur die Parameter eines Mediums ein. Diese Annahme ist für Oberflächenwellen von Wasser an Luft gerechtfertigt, da der Einfluss der Luft aufgrund der kleinen Dichte vernachlässigbar ist.

Die erweiterte Fassung von Gleichung (3) berücksichtigt die Dichte beider Phasen, bezeichnet mit ρ₁ und ρ₂

$c^2=\frac{\rho_\mathrm 1-\rho_2}{\rho_\mathrm l+\rho_2} \cdot \frac{gL}{2\pi}$

Und bei Kapillarwellen gilt:

$c^2=\frac{2\pi\eta}{L(\rho_\mathrm 1+\rho_2)}$

Siehe auch Interne Wellen

Besondere Wellen

Brandungswellen (Brechende Wellen in Strandnähe). Über die maximal mögliche Wellenhöhe H (vertikale Distanz zwischen Wellental und Wellenkamm) in Brandungszonen (= Brecherhöhe) entscheiden die Kriterien des Wellenbrechens. Naturmessungen haben gezeigt, dass Brecherhöhen sehr wohl größer werden können als die örtliche Wassertiefe.

Tsunamis werden durch Seebeben ausgelöst. Sie zeichnen sich aus durch eine sehr große Wellenlänge und auf hoher See durch kleine Amplituden von weniger als einem Meter. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Tsunamis folgt der Beziehung (5), denn die Wellenlänge von mehreren 100 km ist deutlich größer als die Tiefe der Meere. Tsunamis breiten sich (bei einer mittleren Meerestiefe von 5 km) mit einer Geschwindigkeit von 800 km/h aus. In Küstennähe sinkt die Geschwindigkeit, während gleichzeitig die Höhe steigt. Verheerend sind die Schäden, die sie beim Auflaufen auf flache Küsten hervorrufen.

Gezeitenwellen sind Wellen, die durch die Tide verursacht werden.

An der Schichtung von leichtem Süßwasser auf schwerem Salzwasser beobachtet man Grenzflächenwellen, deren Auswirkungen auf Schiffe als Totwasser bezeichnet werden. Fährt ein Schiff in die Zone ein, kann es bei ausreichendem Tiefgang Bugwellen auf der Oberfläche der Salzwasserschicht erzeugen. Es verliert deutlich an Fahrt, ohne dass an der Wasseroberfläche Wasserwellen zu erkennen wären.

Als Grundsee wird eine kurze, steile und überbrechende Wasserwelle bezeichnet, deren Wellental bis auf den Grund reicht.

Beim Entwurf von Schiffen ging man bisher davon aus, dass Wellen mit einer Höhe von mehr als 15 m ausgesprochen selten auftreten würden. Satellitenbeobachtungen wiesen aber nach, dass sogenannte Monsterwellen (in der Seemannssprache als „Kaventsmänner“ bezeichnet) mit Höhen von mehr als 30 m tatsächlich existieren. Neuere Erklärungsversuche der Monsterwellen wenden die Quantenmechanik auf die Physik der Wasserwellen an.

Siehe auch

• Brandung (Wasser)
• Dispersion (Wasserwellen)
• Diskrete Fourier-Transformation (Beispiel zur Bestimmung der Wellenlänge aus SAR-Bildern)
• Hecksee
• Hydrodynamik
• Meteotsunami
• Seegang
• Tide
• Wellenbrechen
• Wellenkraftwerk
• Wellenreiten

Weblinks

 Commons: Wasserwelle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Kinematik der Wasserwellenbewegung (PDF-Datei; 494 kB)
• Ente auf Wasserwelle - Animation zur Veranschaulichung der Entstehung einer Wasserwelle

Literatur

• Pohl, Einführung in die Physik
• Franz Graf von Larisch-Moennich, Sturmsee und Brandung, Verlag von Velhagen und Klasing, 1925

Andere Wortbedeutung

„Wasserwelle“ ist auch eine Haartracht - siehe Frisur.