Snelliussches Gesetz

Das snelliussche Brechungsgesetz (auch snelliussches Gesetz, Snell-Gesetz) besagt, dass eine Welle (z. B. ein Lichtstrahl) ihre Richtung ändert - man sagt gebrochen wird - wenn sie von einem transparenten Medium in ein anderes transparentes Medium mit einer anderen Phasengeschwindigkeit übergeht. Das Gesetz gilt für alle Wellenarten. Es besagt nur, in welche Richtung die Welle abgelenkt wird, nicht aber, wie viel von der Welle an dem Übergang zwischen den beiden Medien transmittiert bzw. reflektiert wird. Im Fall der Totalreflexion ist das reelle Brechungsgesetz ungültig. Es muss dann komplex gerechnet werden. Wie viel Licht transmittiert bzw. reflektiert wird, ergibt sich aus den fresnelschen Formeln.

Geschichte

Das Brechungsgesetz scheint zum ersten Mal im 10. Jahrhundert von Ibn Sahl erwähnt worden zu sein. 1601 wurde es von Thomas Harriot wiederentdeckt, aber nicht veröffentlicht. 1618 wurde es von dem Holländer Willebrord van Roijen Snell und fast zur gleichen Zeit von René Descartes beschrieben.

Beschreibung

Snell-Brechungsgesetz für die Einfallswinkel, und Sonderfall bei „negativer“ Brechzahl (unten).
Hinweis: Die Einfalls- bzw. Brechungswinkel werden zum Lot auf die Oberfläche angegeben. Da hier aber nicht die Richtung des Lichtes, sondern die der Wellenfront eingezeichnet ist, die senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht, sind die Winkel δ₁ bzw. δ₂ von der Wellenfront zur Oberfläche eingezeichnet.

Das nebenstehende Bild zeigt einen Lichtstrahl, der aus dem Medium₁ (z. B. Luft) auf die Grenzfläche eines Mediums₂ (z. B. Glas) einfällt. Er ist dabei um den Winkel δ₁ gegen das Einfallslot geneigt. Ein Teil des Lichtstrahls wird an der Oberfläche reflektiert, der Rest tritt unter Richtungsänderung (Brechung) ein und läuft dort unter dem Winkel δ₂ gegen das Lot weiter. Dieser Vorgang wird durch das Snell-Gesetz beschrieben.

Licht bewegt sich in einem isotropen Medium mit einer von der Brechzahl abhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit.

$n_1 = \frac{c_0}{c_1}$ bzw. $n_2 = \frac{c_0}{c_2}$,

d. h., die Brechzahl n gibt das Verhältnis der Phasengeschwindigkeit c₀ von Licht im Vakuum zur Phasengeschwindigkeit c_n von Licht in Materie an. Dabei ist die Brechzahl eine von der Wellenlänge abhängige Materialkonstante, die bei der Brechung eine Aufspaltung der unterschiedlichen Wellenlängen des einfallenden Strahls bewirkt (vgl. Dispersion).

Werden zwei parallel einfallende Lichtstrahlen an einer idealen Grenzfläche zweier Medien betrachtet, ergibt sich geometrisch für den zweiten Strahl eine zusätzliche Wegstrecke λ₁ = c₁t im Medium 1 sowie für den ersten Lichtstrahl eine zusätzliche Wegstrecke λ₂ = c₂t im Medium 2 (hierbei ist c_1,2 – Ausbreitungsgeschwindigkeiten im jeweiligen Medium; t die zusätzliche Laufzeit). Über Winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich:

$\sin(\delta_1) = \frac{\lambda_1}{\overline {AB'}}$ bzw. $\sin(\delta_2) = \frac{\lambda_2}{\overline {AB'}}$

wobei δ₁ bzw. δ₂ der Einfalls- bzw. Brechungswinkel und $\overline {AB'}$ der Gangunterschied der beiden Lichtstrahlen ist.

Ersetzt man den Gangunterschied $\overline {AB'}$ in Medium 1 durch den Zusammenhang in Medium 2, ergibt sich:

$\frac{\sin(\delta_1)}{\sin(\delta_2)} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$

Mit den Zusammenhängen für die Wegstrecke und der abhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit erhält man das snelliussches Brechungsgesetz:

$\frac{\sin(\delta_1)}{\sin(\delta_2)}= \frac{c_1 t}{c_2 t} = \frac{n_2}{n_1}$

Winkelabhängigkeit bei der Brechung für die Medien Luft, Wasser und Glas

wobei n₁ und n₂ die einheitenlosen Brechzahlen der jeweiligen Medien sind.

Somit erhält man den in der Grafik links dargestellten Zusammenhang zwischen den Winkeln δ₁ und δ₂:

$\delta_2 = \arcsin\left(\frac{\sin(\delta_1)\cdot n_1}{n_2}\right)$

Für absorbierende Medien, für die die Brechzahl als komplexe Zahl definiert ist, kann das Brechungsgesetz in der einfachen Form im allgemeinen nicht angewendet werden. Dies funktioniert nur, wenn der Imaginärteil viel kleiner als der Realteil ist.^[1]

Herleitung aus dem Fermatschen Prinzip

Herleitung aus dem Fermatschen Prinzip

Das snelliussche Brechungsgesetz ist eine Folgerung des Fermatschen Prinzips. Der Beweis berechnet den optischen Weg (OW) zwischen zwei Punkten A (im Medium 1) und B (im Medium 2) in Abhängigkeit von der Lage von x₁ und setzt dann die Ableitung null (Forderung des Fermatschen Prinzips).

$OW(A \rightarrow B) = n_1 \cdot l_1 + n_2 \cdot l_2$

Nach dem Satz des Pythagoras folgt:

$n_1l_1 + n_2l_2 = n_1\sqrt{{h_1}^2 + {x_1}^2} + n_2\sqrt{{h_2}^2 + (d-{x_1})^2}$

Setzt man dessen Ableitung nach x₁ null, erhält man

$\frac{\mathrm{d}OW}{\mathrm{d}{x_1}} = n_1 \frac{{x_1}}{\sqrt{{h_1}^2 + {x_1}^2}} - n_2\frac{d-{x_1}}{\sqrt{{h_2}^2 + (d-{x_1})^2}}$

$= n_1 \frac{{x_1}}{l_1} - n_2\frac{d-{x_1}}{l_2} = n_1\sin(\delta_1) -n_2\sin(\delta_2) = 0$

und daher n₁sin(δ₁) = n₂sin(δ₂), was der oben genannten Formulierung entspricht.

Veranschaulichungen

Deutung mit dem Fermatschen Prinzip

Das Licht wählt den Weg, auf dem es am schnellsten von Punkt A zum Punkt B kommt. Ein Beispiel hierfür ist etwa der Rettungsschwimmer, der sich am Strand schneller fortbewegen kann als im Wasser. Welchen Weg muss er von A aus nehmen, um möglichst schnell bei dem in Not geratenen Schwimmer B anzukommen? Es ist nicht der direkte Weg von A nach B, da er dann sehr weit im langsameren Medium (Wasser) unterwegs ist. Es ist auch nicht der Weg, bei dem der Rettungsschwimmer senkrecht zum Strand in Richtung B schwimmt. Der schnellste Weg liegt „dazwischen“.

Drehung der Wellenfront

Rettungsschwimmer bewegen sich am Strand schneller fort als im Wasser. Das hat zur Folge, dass die „Front“ von vier Rettungsschwimmern ihre Richtung ändert, wenn sie vom Strand ins Wasser kommen. Dies entspricht der Brechung einer Welle am optisch dichteren Medium

Wellenfronten, die von einem Punkt ausgehen. Das Material unter der grauen Linien hat eine höhere Brechzahl, die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist dazu proportional niedriger.

Rettungsschwimmer bewegen sich am Strand schneller fort als im Wasser. Das hat zur Folge, dass die „Front“ von vier Rettungsschwimmern ihre Richtung ändert, wenn sie vom Strand ins Wasser kommen. Dies entspricht der Brechung einer Welle am optisch dichteren Medium.

Allerdings wird bemängelt, dass der Vergleich mit den Rettungsschwimmern hinkt, da sich zwar ihre „Front“ dreht, ihre Ausbreitungsrichtung aber nicht. Würde der Vergleich mit den Schwimmern auch für die Welle gelten, so würde die Welle eine Schräglage zur Ausbreitungsrichtung einnehmen

Einzelnachweise

1. ↑ Torsten Fließbach: Elektrodynamik. Lehrbuch zur Theoretischen Physik II. 4. Auflage. Spektrum Verlag, 2004. ISBN 3827415306. – Kapitel 36

Weblinks

• Brechungsgesetz für Schüler

Literatur

• Eugene Hecht: Optik. 4. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München, ISBN 3486273590.