- Strikt konvexer Raum
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Strikt konvexe Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Es handelt sich um normierte Räume, deren Norm bestimmte geometrische Eigenschaften hat, die für die Optimierungstheorie wichtig sind.
Inhaltsverzeichnis
Definitionen
Ist
ein reeller normierter Raum, so sei X1 die Einheitskugel, das heißt die Menge aller Elemente
mit
,
sei der Dualraum, das heißt der Banachraum der stetigen linearen Funktionale
mit der Dualraumnorm
.
Ein reeller normierter Raum
heißt strikt konvex, wenn er eine der folgenden untereinander äquivalenten Bedingungen erfüllt[1]:
- Ist
für
, so gibt es eine reelle Zahl λ mit x = λy.
- Ist
für zwei verschiedene
, so gilt
für alle reellen Zahlen 0 < λ < 1.
- Ist
für zwei verschiedene
, so gilt
.
- Die Funktion
ist strikt konvex.
- Jedes
nimmt das Supremum auf X1 in höchstens einem Punkt an.
Aus der zweiten Eigenschaft ergibt sich direkt, dass die Menge der Extremalpunkte von X1 mit dem Rand der Einheitkugel
zusammenfällt.
Aus der vierten Eigenschaft folgt die für die Optimierungstheorie wichtige Aussage, dass eine konvexe Menge in einem strikt konvexen Raum höchstens einen Vektor minimaler Länge hat.[2]
Beispiele
- Gleichmäßig konvexe Räume sind strikt konvex, insbesondere also prä-Hilberträume und die Lp-Räume für
.
ist nicht strikt konvex, denn ist
und
, so ist
.
- Jeder endlichdimensionale strikt konvexe Raum ist gleichmäßig konvex. Es gibt strikt konvexe Räume, die nicht gleichmäßig konvex sind; diese müssen dann unendlichdimensional sein[3]. Siehe auch Renormierungssatz.
Glattheit
Die hier vorgestellte Eigenschaft Glattheit (engl.: smoothness) ist die zur strikten Konvexität duale Eigenschaft. Es sei
die Korrespondenz, die jedem
die Menge derjenigen Funktionale
mit
zuordnet. Man nennt F auch die Dualitätsabbildung. Nach dem Satz von Hahn-Banach ist
für alle
. Man nennt einen normierten Raum glatt, wenn F(x) für jedes
einelementig ist. Es gilt nun folgender Satz[4][5]:
- Sei X ein normierte Raum.
- Ist
strikt konvex, so ist X glatt.
- Ist
glatt, so ist X strikt konvex.
Für reflexive Räume erhält man dann perfekte Dualität:
- Sei X ein reflexiver Banachraum.
ist genau dann strikt konvex, wenn X glatt ist.
ist genau dann glatt, wenn X strikt konvex ist.
Da die Dualitätsabbildung F für glatte Räume nur einelementige Bilder hat, kann man sie auch als Funktion
betrachten. Man kann zeigen, dass diese Abbildung stetig ist, wenn man auf X die Normtopologie und auf
die schwach-*-Topologie betrachtet.[6]
Ein Renormierungssatz
In vielen Fällen kann man sich durch Übergang zu einer äquivalenten Norm die hier vorgestellten Normeigenschaften verschaffen, denn es gilt[7]:
- Jeder separable Banachraum hat eine äquivalente Norm, die sowohl strikt konvex als auch glatt ist.
Insbesondere kann man auf diese Weise nicht-reflexive, strikt konvexe Banachräume konstruieren. Damit hat man Beispiele für strikt konvexe aber nicht gleichmäßig konvexe Banachräume, denn letztere sind nach einem Satz von Milman stets reflexiv.
Einzelnachweise
- ↑ V. Barbu, Th. Precupanu: Convexity and Optimization in Banach Spaces, D. Reidel Publishing Company (1986), ISBN 90-277-1761-3, Satz 2.13
- ↑ Peter Kosmol: Optimierung und Approximation, Walter de Gruyter (2010), ISBN 3-110-21814-3, Folgerung aus Satz 3.17.1
- ↑ N. L. Carothers: A short course on Banach space theory, Cambridge University Press (2005), ISBN 0521603722, Kapitel 11, Seite 114
- ↑ V. Barbu, Th. Precupanu: Convexity and Optimization in Banach Spaces, D. Reidel Publishing Company (1986), ISBN 90-277-1761-3, Theorem 2.6
- ↑ N. L. Carothers: A short course on Banach space theory, Cambridge University Press (2005), ISBN 0521603722, Theorem 11.4
- ↑ V. Barbu, Th. Precupanu: Convexity and Optimization in Banach Spaces, D. Reidel Publishing Company (1986), ISBN 90-277-1761-3, Theorem 2.8
- ↑ Joram Lindenstrauss: Handbook of the geometry of Banach spaces Band 1, Elsevier (2001), ISBN 0444828427, Seite 33
- Ist
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